Дырявая разминка

Подсказка

Полость с зарядом (током) — суперпозиция сплошного цилиндра и цилиндра с обратной плотностью. Внутри малого цилиндра поле складывается из однородного и линейно растущего от его оси. Для диэлектрика учтите поле шара поляризации и поле, действующее на молекулу.

Ответ

1.1.1) \(\vec E=\dfrac{\rho_1\vec a}{2\varepsilon_0}+\dfrac{\rho_2\vec r_2}{2\varepsilon_0}\), эквипотенциали — окружности с центром в точке \((-\tfrac{\rho_1}{\rho_2}a,\,0)\); 1.2.1) \(j_1=3{,}37\cdot10^4\) А/м\(^2\), \(j_2=2{,}70\cdot10^5\) А/м\(^2\), \(\vec B=\dfrac{\mu_0 j_2}{2}\bigl(y\vec i-(x+R_2)\vec j\bigr)\), силовые линии — окружности с центром в \((-R_2;\,0)\); 1.3.1) \(E_A=\dfrac{\varepsilon+2}{3}E\); 1.3.2) \(\varepsilon=\dfrac{3+2n\beta}{3-n\beta}\).

Решение

Задание 1. «Дырявая разминка»

Задача 1.1

Напряженность электрического поля внутри однородно заряженного с плотностью \(\rho\) цилиндра можно найти по теореме Гаусса.

\[E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}\tag{1}\]

или в векторной форме

\[\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{2\varepsilon_0}\tag{2}\]

Распределение потенциала внутри цилиндра рассчитаем как

\[\varphi = -\int E(r)dr = -\frac{\rho r^2}{4\varepsilon_0} + C\tag{3}\]

Поле внутри малого цилиндра нетрудно найти при помощи метода наложений, представив его как сумму полей сплошного цилиндра радиуса \(R_1\) с плотностью заряда \(\rho_1\) и цилиндра радиуса \(R_2\) с плотностью заряда \(\rho_2 - \rho_1\) (рис.2).

В произвольной точке А с радиус-вектором \(\vec{r}_1\) относительно оси большего цилиндра и \(\vec{r}_2\) относительно оси малого (рис. 3) поле равно:

\[\vec{E}_0 = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho_1 \vec{r}_1}{2\varepsilon_0} + \frac{(\rho_2 - \rho_1)\vec{r}_2}{2\varepsilon_0} = \frac{\rho_1(\vec{r}_1 - \vec{r}_2)}{2\varepsilon_0} + \frac{\rho_2 \vec{r}_2}{2\varepsilon_0} = \left\{ \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{a} \right\} = \frac{\rho_1 \vec{a}}{2\varepsilon_0} + \frac{\rho_2 \vec{r}_2}{2\varepsilon_0}\tag{4}\]

т.е. поле внутри меньшего цилиндра представляет собой суперпозицию постоянного поля и поля, линейно зависящего от \(\vec{r}_2\).

Для дальнейших рассуждений выберем систему координат \(xOy\) с началом отсчета на оси малого цилиндра (рис. 4) и выразим в явном виде распределение потенциала внутри малого цилиндра

Распределение потенциала, соответствующее постоянному полю описывается формулой

\[\varphi_1 = -\frac{\rho_1}{2\varepsilon_0}ax + C_1\tag{4}\]

а распределение потенциала, соответствующее полю, линейно зависящему от радиус-вектора

\[\varphi_{2} = -\frac{\rho_{2} r_{2}^{2}}{4 \varepsilon_{0}} + C_{2} = -\frac{\rho_{2} (x^{2} + y^{2})}{4 \varepsilon_{0}} + C_{2}\tag{5}\]

Таким образом, потенциал внутри малого цилиндра описывается формулой

\[\varphi = \varphi_{1} + \varphi_{2} = -\left[ \frac{\rho_{1} a x}{2 \varepsilon_{0}} + \frac{\rho_{2} (x^{2} + y^{2})}{4 \varepsilon_{0}} \right] + C\tag{6}\]

Очевидно, линии равного потенциала в данном случае — окружности. Действительно, после очевидных математических преобразований функцию (6) можно переписать в следующем виде

\[\varphi = -\frac{\rho_{2}}{4 \varepsilon_{0}} \left[ (x + \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} a)^{2} + y^{2} \right] + \frac{\rho_{2}}{4 \varepsilon_{0}} (\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} a)^{2} + C\tag{7}\]

откуда видно, что центр эквипотенциальных окружностей находится в точке \((-\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} a, 0)\), которая в нашем случае (поскольку \(\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} a = \frac{7{,}08}{1{,}77} 5{,}0 \text{ см} = 2{,}0 \text{ см} = R_{2}\)) будет находиться в точке \(O\) (рис. 4) — на границе малого цилиндра.

Вид эквипотенциальных линий приведен на рис. 5.

Задача 1.2

Прежде всего, необходимо найти плотность тока в большом и малом цилиндрах, что сводится к решению задачи о параллельном соединении резисторов.

Токи, текущие в большом и малом цилиндрах соответственно равны

\[I_{1}=I \frac{r_{2}}{r_{1}+r_{2}}=I \frac{\rho_{2} \frac{L}{\pi R_{2}^{2}}}{\rho_{1} \frac{L}{\pi\left(R_{1}^{2}-R_{2}^{2}\right)}+\rho_{2} \frac{L}{\pi R_{2}^{2}}}=I \frac{1}{1+\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}-R_{2}^{2}}}\tag{1}\]

\[I_{2}=I \frac{r_{1}}{r_{1}+r_{2}}=I \frac{\rho_{1} \frac{L}{\pi\left(R_{1}^{2}-R_{2}^{2}\right)}}{\rho_{1} \frac{L}{\pi\left(R_{1}^{2}-R_{2}^{2}\right)}+\rho_{2} \frac{L}{\pi R_{2}^{2}}}=I \frac{1}{1+\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} \frac{R_{1}^{2}-R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}}}\tag{2}\]

Плотность тока в большом и малом цилиндрах соответственно:

\[j_{1}=\frac{I_{1}}{\pi\left(R_{1}^{2}-R_{2}^{2}\right)}=\frac{I}{\pi\left(R_{1}^{2}-R_{2}^{2}\right)} \frac{1}{1+\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}-R_{2}^{2}}}\tag{3}\]

\[j_{2}=\frac{I_{2}}{\pi R_{2}^{2}}=\frac{I}{\pi R_{2}^{2}} \frac{1}{1+\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} \frac{R_{1}^{2}-R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}}}\tag{4}\]

Численные расчеты приводят к результатам

\[\begin{aligned} j_{1} & =3{,}37 \cdot 10^{4} \text{ А/м}^{2} \\ j_{2} & =2{,}70 \cdot 10^{5} \text{ А/м}^{2} \end{aligned}\]

Магнитное поле внутри цилиндра, по которому течет ток с плотностью \(\vec{j}\) можно найти по теореме о циркуляции вектора магнитной индукции:

\[B=\frac{\mu_{0} j}{2} r\tag{5}\]

Что удобно представить в векторном виде

\[\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{2}[\vec{j} \times \vec{r}]=\frac{\mu_{0} j}{2}[\vec{n} \times \vec{r}]\tag{6}\]

где \(\vec{n}\) — единичный вектор, сонаправленный с вектором \(\vec{j}\).

Магнитное поле внутри малого цилиндра нетрудно найти при помощи метода наложений, представив его как сумму полей сплошного цилиндра радиуса \(R_{1}\) с плотностью протекающего тока \(j_{1}\) и цилиндра радиуса \(R_{2}\) с плотностью протекающего тока \(j_{2}-j_{1}\) (рис.2).

В точке А с радиус-вектором \(\vec{r}_1\) относительно оси большего цилиндра и \(\vec{r}_2\) относительно оси малого

(рис.3) поле равно:

\[\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 j_1}{2} [\vec{n} \times \vec{r}_1] + \frac{\mu_0 (j_2 - j_1)}{2} [\vec{n} \times \vec{r}_2] =\tag{7}\]

\[= \frac{\mu_0 j_1}{2} [\vec{n} \times (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)] + \frac{\mu_0 j_2}{2} [\vec{n} \times \vec{r}_2] = \frac{\mu_0 j_1}{2} [\vec{n} \times \vec{a}] + \frac{\mu_0 j_2}{2} [\vec{n} \times \vec{r}_2]\]

т.е. поле внутри меньшего цилиндра представляет собой суперпозицию постоянного поля и кругового поля, модуль которого линейно зависит от \(\vec{r}_2\). Выберем систему координат \(xOy\) с началом отсчета на оси малого цилиндра (рис.6). Векторы \(\vec{i}, \vec{j}\) — орты системы координат.

Векторные произведения, фигурирующие в этих выражениях представим в явном виде

\[\vec{n} \times \vec{a} = a [\vec{n} \times \vec{i}] = -a \vec{j}\tag{8}\]

\[\vec{n} \times \vec{r}_2 = [\vec{n} \times (x \vec{i} + y \vec{j})] = y \vec{i} - x \vec{j}\tag{9}\]

Вектор индукции магнитного поля запишется в виде

\[\vec{B} = -\frac{\mu_0 j_1 a}{2} \vec{j} + \frac{\mu_0 j_2}{2} (y \vec{i} - x \vec{j}) =\tag{10}\]

\[= \frac{\mu_0 j_2}{2} y \vec{i} - \frac{\mu_0}{2} (j_1 a + j_2 x) \vec{j}\]

При плотностях токов (3), (4) магнитное поле равно нулю в точке с координатами

\[x_0 = -\frac{j_1}{j_2} a = -\frac{3{,}37 \cdot 10^4}{2{,}70 \cdot 10^5} 2{,}0 \, \text{мм} = -0{,}25 \, \text{мм} = -R_2\]

\[y_0 = 0\]

Итого, магнитная индукция в малом цилиндре равна

\[\vec{B} = \frac{\mu_0 j_2}{2} y \vec{i} - \frac{\mu_0 j_2}{2} (x + R_2) \vec{j} = \frac{\mu_0 j_2}{2} (y \vec{i} - (x + R_2) \vec{j})\tag{11}\]

Силовые линии такого поля представляют собой окружности с центром в точке \((-R_2; 0)\).

Рис. 5

Дополнения.

1. Силовой линией называется такая кривая, касательная к которой в любой точке сонаправлена с полем. Очевидно, что если магнитная индукция перпендикулярна радиус-вектору в любой точке, то силовые линии такого поля – окружности (для любой точки окружности касательная перпендикулярна радиусу, проведенную в данную точку).

Рис. 6

Как раз такая ситуация будет в нашем случае, если начало координат перенести в точку \((-R_2; 0)\). Вид силовых линий изображен на рисунке 6.

Для более строгого доказательства рассмотрим векторное поле \(\vec{F} = y\vec{i} - x\vec{j}\) (рис. 5). Получим уравнение силовых линий для данного поля.

В каждой точке силовой линии поле направлено по касательной к ней. Т.е. тангенс угла наклона силовой линии к оси абсцисс равен отношению \(y\)-компоненты поля к \(x\)-компоненте поля.

\[\frac{dy}{dx} = \frac{F_y}{F_x}\tag{12}\]

Для удобства запоминания данное соотношение лучше записать в таком виде

\[\frac{dx}{F_x} = \frac{dy}{F_y}\tag{13}\]

тем более, что уравнения силовой линии в трехмерном случае выглядят аналогично:

\[\frac{dx}{F_x} = \frac{dy}{F_y} = \frac{dz}{F_z}\tag{14}\]

(Обратите внимание, здесь два уравнения, а не одно!)

В данном случае

\[\frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y}\tag{15}\]

\[y d y=-x d x ;\tag{16}\]

\[x d x+y d y=0 ;\tag{17}\]

\[d\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)=0 ;\tag{18}\]

\[x^{2}+y^{2}=C^{2}\tag{19}\]

Это и есть семейство окружностей радиуса \(C\).

2. Обратите внимание, насколько эти две задачи похожи!

Задача1.3

Среднее электрическое поле \(\vec{E}_{A}\) внутри сферы найдем, как поле равномерно поляризованного диэлектрика \(\vec{E}\) за вычетом поля, создаваемого равномерно поляризованным шаром \(\vec{E}_{S}\) (рис.2).

Поле \(\vec{E}_{S}\) направлено противоположно \(\vec{E}\) — это видно из того, что

\[\vec{E}_{S}=-\frac{\vec{P}}{3 \varepsilon_{0}}\tag{18}\]

и \(\vec{P}=(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} \vec{E}\)

то есть \((\varepsilon>1)\)

\[\vec{E}_{S}=-\frac{(\varepsilon-1) \vec{E}}{3}\tag{19}\]

Интересующее нас поле

\[\vec{E}_{A}=\vec{E}-\vec{E}_{S}=\vec{E}-\left(-\frac{(\varepsilon-1) \vec{E}}{3}\right)=\left(1+\frac{\varepsilon-1}{3}\right) \vec{E}=\frac{\varepsilon+2}{3} \vec{E}\tag{20}\]

Именно это поле воздействует на молекулы внутри сферы в нашей модели и индуцирует в них дипольный момент

\[\vec{p}=\beta \varepsilon_{0} \vec{E}_{A}=\beta \varepsilon_{0} \frac{\varepsilon+2}{3} \vec{E}\tag{21}\]

Очевидно, что поляризация (дипольный момент единицы объема вещества) равна дипольному моменту одной молекулы, умноженному на число молекул в единице объема, т.е. концентрацию молекул:

\[\vec{P}=n \vec{p}=n \beta \varepsilon_{0} \frac{\varepsilon+2}{3} \vec{E}\tag{22}\]

Выражения (2) и (6) дают нам следующее равенство:

\[(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} \vec{E}=n \beta \varepsilon_{0} \frac{\varepsilon+2}{3} \vec{E}\tag{23}\]

из которого определяем диэлектрическую проницаемость

\[\varepsilon=\frac{1+n \beta \frac{2}{3}}{1-\frac{n \beta}{3}}=\frac{3+2 n \beta}{3-n \beta}=\frac{3-n \beta+3 n \beta}{3-n \beta}=1+\frac{3 n \beta}{3-n \beta}\tag{24}\]

Дополнение.

Полученная формула, конечно, носит приближённый характер, что вытекает из принятых в задаче приближениях. Первое из них – это рассмотрение точечных диполей, что не совсем верно для веществ, состоящих из сложных молекул. Но, в любом случае, такое приближение выглядит вполне приемлемо по сравнению с выбором именно сферической полости. Заметим, что для кристаллов с кубической решёткой данное приближение выполняется точно. Т.е., действительно, поле создаваемое диполями, находящимися внутри сферы, равно нулю в центре этой сферы (без учёта поля диполя, расположенного в центре). Но точно такая же ситуация будет реализовываться если выбрать полость кубической формы. Выбор именно сферы обоснован экспериментальным подтверждением полученной формулы для большинства газообразных и жидких диэлектриков. Например, для сероуглерода формула верна как для газообразного состояния, так и для жидкого, когда концентрация молекул возрастает в 380 раз.

Подчеркнём также, что полученная формула верна только для веществ состоящих из неполярных молекул. В веществах, состоящих из полярных молекул, влияние соседних молекул существенно и приведённый выше подход оказывается верным только для очень разреженных газов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.