Оборотный маятник

Приведённая длина для обоих положений постоянна на окружностях в плоскости координат грузов. Совпадение периодов отвечает окружности, описанной около квадрата со стороной, равной расстоянию между осями.

1.3) \(x_1^2+x_2^2=b^2/2\), \(l_0=b\); 2.2) \(x_2^*\approx99\) мм, \(T_0\approx0{,}779\) с; 2.3) \(l_0\approx152\) мм.

Часть 1. Теоретическая

1.1 Из приведенной в условии формулы для периода колебаний, следует, что приведенная длина будет постоянной при выполнении условия

\[\frac{\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)^{2}}{\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)+\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)}=l_{1}\tag{1}\]

Данное выражение можно преобразовать к более простому и наглядному виду

\[\begin{aligned} & \left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)^{2}-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)=0 \quad \Rightarrow \\ & \left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)=\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}-2 \frac{l_{1}}{2}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)+\frac{l_{1}^{2}}{4}-\frac{l_{1}^{2}}{4}=\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{1}\right)^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4} \quad \Rightarrow \\ & \left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{2}\right)^{2}=\frac{l_{1}^{2}}{2} \end{aligned}\tag{2}\]

Эта формула задает окружность с центром \(C\) с координатами \(x_{1}=\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2} ; x_{2}=\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}\), радиус этой окружности \(R_{1}=\frac{l_{1}}{\sqrt{2}}\). Легко заметить, что при любых значениях приведенной длины \(l_{1}\) окружность проходит через точку \(A_{1}\) с координатами \(x_{1}=\frac{b}{2} ; x_{2}=\frac{b}{2}\). Эта точка есть вершина квадрата со стороной равной расстоянию между осями \(b\), центр этого квадрата находится в начале координат.

1.2 Для перевернутого положения преобразования выполняются аналогично (можно просто изменить знаки перед параметрами \(x_{1}\) и \(x_{2}\)). Уравнение геометрического места точек в данном случае имеет вид

\[\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{2}}{2}+x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{2}}{2}+x_{2}\right)^{2}=\frac{l_{2}^{2}}{2}\tag{3}\]

Это есть окружность, проходящая через противоположную вершину квадрата \(A_{2}\).

1.3 Для того, чтобы периоды колебаний были одинаковы при обоих положениях маятника необходимо, чтобы построенные окружности совпадали. Т.е. окружность должна быть описана вокруг построенного квадрата. Уравнение этой окружности

\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{b^{2}}{2}.\tag{4}\]

Соответствующая ей приведенная длина оказывается равной расстоянию между осями \(l_{0}=b\).

Часть 2. Экспериментальная.

2.1 Результаты измерений зависимости периодов колебаний в прямом (\(T_1\)) и перевернутом положениях (\(T_2\)) от координаты \(x_2\) приведены в Таблице 1, по данным которой построен график исследованной зависимости

Таблица 1. Времена \(t_1\) и \(t_2\) — десяти колебаний в прямом и перевёрнутом положениях (по два измерения).

Зависимость периода колебаний от координаты

2.2 Для более точного определения значений координаты, когда периоды совпадают и значения этого периода можно провести линейную интерполяцию зависимостей в области пересечения. Из этого рисунка следует, что \(x_{2}^{*} = 99\,\text{мм}\); \(T_{0} = 0{,}779\,\text{с}\)

2.3 Приведенная длина маятника в этом случае оказывается равной

\[l = \frac{T_{0}^{2} g}{4\pi^{2}} = 152\,\text{мм},\]

Что примерно равно расстоянию между осями маятника. Этот результат есть первое подтверждение построенной теории.

Часть 3. Сравнение.

Для выполнения этой части задачи удобнее построить график теоретический, а затем с его помощью искать нужные положения грузов. Важно отметить, что для каждого значения координаты \(x_{2}\) существует два симметричных относительно центра маятника положения \(\pm x_{1}\), при которых периоды колебаний равны \(T_{0}\). Измерения показывают, что экспериментальные точки лежат достаточно близко к построенной окружности.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.