Похоже на Сатурн

Подсказка

Вблизи центра поле кольца линейно по координатам: продольная компонента \(E_z \propto z\) находится на оси, а поперечную \(E_r \propto r\) даёт теорема Гаусса для маленького цилиндра (поле кольца в центре без зарядов внутри). Сложите с полем шара и сравните радиальные множители.

Решение

1. Пусть \(\vec R\) — радиус-вектор, проведённый из центра шара в точку на его поверхности. Тогда для электрического поля шара на его поверхности получим: \[\vec E = \frac{Q\vec R}{4\pi\varepsilon_0R^3}.\] Далее воспользуемся цилиндрическими координатами \(r\), \(z\). Начало координат совпадает с центрами кольца и шара, ось \(z\) направлена вдоль оси вращения системы, а \(r\) обозначает расстояние от рассматриваемой точки до оси \(z\).

Определим электрическое поле кольца на его оси вращения.

Первый способ: Рассмотрим окружность радиусом \(r'\) с зарядом \(\mathrm{d}q\), распределённым равномерно по её периметру. Тогда на оси вращения окружности в точке с координатой \(z\) электрическое поле равняется: \[\mathrm{d}E_z = \frac{z\,\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0(r'^2 + z^2)^{3/2}}.\]

Поскольку \(z < R \ll r_1, r_2\) — при любых значениях \(z\) справедливо приближение: \[\mathrm{d}E_z \approx \frac{z\,\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0r'^3}.\] Учитывая, что для кольца \(\mathrm{d}q = 2\pi r'\,\mathrm{d}r'\,\sigma\), его электрическое поле на оси \(z\) равняется: \[E_z = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\int_{r_1}^{r_2}\frac{r'\,\mathrm{d}r'}{r'^3} = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).\]

Второй способ: Электрическое поле кольца на его оси может быть найдено с помощью теоремы о телесном угле. Покажем, что если по плоскому слою равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью \(\sigma\), то в точке \(A\) компонента электрического поля, перпендикулярная слою, равна: \[E_n = \frac{\sigma\Omega_A}{4\pi\varepsilon_0},\] где \(\Omega_A\) — телесный угол, под которым виден плоский слой из точки \(A\).

Доказательство: рассмотрим элемент плоского слоя с площадью \(\mathrm{d}S\). Пусть \(\vec e_n\) — единичный вектор нормали к поверхности слоя, направленный к точке \(A\), а \(\vec r\) — радиус-вектор, проведённый от элемента слоя к точке \(A\). Тогда для нормальной компоненты электрического поля элемента слоя получим: \[\mathrm{d}\vec E_n = \vec e_n\cdot\frac{\sigma\vec r\,\mathrm{d}S}{4\pi\varepsilon_0r^3} = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{\vec r\cdot\mathrm{d}\vec S}{r^3}.\] Если направления векторов \(\vec r\) и \(\mathrm{d}\vec S\) изменить на противоположные, величина \((\vec r\cdot\mathrm{d}\vec S)/r^3\) по определению будет представлять собой элемент телесного угла \(\mathrm{d}\Omega_A\), под которым элемент плоского слоя виден из точки \(A\). Таким образом: \[\mathrm{d}E_n = \frac{\sigma\,\mathrm{d}\Omega_A}{4\pi\varepsilon_0} \;\Rightarrow\; E_n = \frac{\sigma\Omega_A}{4\pi\varepsilon_0},\] что и требовалось доказать.

Определим телесный угол, под которым виден диск из точки, расположенной на его оси. Он равен телесному углу, под которым виден из центра сферы её сегмент, ограниченный конусом с углом раствора \(2\alpha\), вершина которого совпадает с центром сферы:

\[\mathrm{d}\Omega = \frac{\mathrm{d}S}{R^2} = \frac{2\pi R\sin\varphi\cdot R\,\mathrm{d}\varphi}{R^2} = \frac{2\pi R\cdot R\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi}{R^2} = \frac{2\pi R\,\mathrm{d}h}{R^2} \;\Rightarrow\; \Omega = \frac{2\pi h}{R},\] где \(h = R(1 - \cos\alpha)\). Отсюда: \[\Omega = 2\pi(1 - \cos\alpha).\] Тогда для телесного угла, под которым виден диск радиусом \(r\) из точки, находящейся на его оси вращения на расстоянии \(z\) от центра, получим: \[\Omega_\text{д} = 2\pi\left(1 - \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}}\right).\] Телесный угол, под которым видно кольцо на его оси вращения в точке с координатой \(z\), может быть получен как разность телесных углов дисков радиусами \(r_2\) и \(r_1\): \[\Omega_\text{к} = 2\pi\left(\frac{z}{\sqrt{z^2 + r_1^2}} - \frac{z}{\sqrt{z^2 + r_2^2}}\right) \approx 2\pi z\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) \;\Rightarrow\; E_z = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).\]

Наконец, обратим внимание, что компонента электрического поля кольца, перпендикулярная его плоскости, вблизи оси вращения кольца является практически постоянной. Это связано с тем, что складываемые компоненты электрического поля имеют одинаковое направление, а расстояние до каждого заряженного элемента кольца при малых отклонениях от его оси вращения также изменяется на малую величину. Таким образом: \[E_z(r,z) \approx E_z(0,z) \approx \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).\]

Далее определим компоненту электрического поля \(E_r\) кольца, перпендикулярную его оси вращения. Вблизи плоскости кольца величина данной компоненты электрического поля является практически постоянной, поскольку, как и в случае с компонентой \(E_z\), при малых отклонениях от плоскости кольца направления складываемых компонент векторов не изменяются, а расстояния также изменяются на малую величину. Таким образом: \[E_r(r,z) \approx E_r(r,0).\]

Первый способ: Воспользуемся теоремой Гаусса для цилиндра радиусом \(r\) и высотой \(2h\), соосного с кольцом: \[\Phi = \Phi_\text{осн} + \Phi_\text{бок} = 0,\] где \(\Phi_\text{осн}\) и \(\Phi_\text{бок}\) — потоки электрического поля кольца через основания цилиндра и боковую поверхность соответственно.

Поскольку компонента электрического поля кольца \(E_z\) практически не зависит от \(r\), а компонента электрического поля кольца \(E_r\) практически не зависит от \(z\): \[\Phi_\text{осн} = 2\cdot\pi r^2E_z \qquad \Phi_\text{осн} = 2\pi r\cdot2h\cdot E_r \;\Rightarrow\; E_r = -\frac{E_zr}{2z}.\]

Подставляя полученное ранее выражение для \(E_z\): \[E_r = -\frac{\sigma r}{4\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).\]

Второй способ: Рассмотрим окружность радиусом \(r'\), по периметру которой равномерно распределён заряд \(q\). В точке окружности, расположенной на расстоянии \(r \ll r'\) от его центра, электрическое поле направлено вдоль линии, соединяющей центр кольца с рассматриваемой точкой.

Пусть \(\varphi\) — угол, отсчитываемый между линиями «точка — центр окружности» и «элемент заряда — центр окружности». Тогда для элементарной компоненты электрического поля \(\mathrm{d}E_r\) получим: \[\mathrm{d}E_r = -\frac{\mathrm{d}q\,(r'\cos\varphi - r)}{4\pi\varepsilon_0(r'^2 + r^2 - 2r'r\cos\varphi)^{3/2}}.\] Учтём, что \(\mathrm{d}q = q\cdot\mathrm{d}\varphi/(2\pi)\), и введём параметр \(a = r/r'\): \[\mathrm{d}E_r = -\frac{q}{8\pi^2\varepsilon_0r'^2}\,\frac{(\cos\varphi - a)\,\mathrm{d}\varphi}{(1 + a^2 - 2a\cos\varphi)^{3/2}}.\] Упростим полученное выражение с учётом \(a \ll 1\): \[\frac{\cos\varphi - a}{(1 + a^2 - 2a\cos\varphi)^{3/2}} \approx (\cos\varphi - a)(1 + 3a\cos\varphi) \approx \cos\varphi - a + 3a\cos^2\varphi.\] Здесь мы пренебрегали всеми порядками малости выше первого. Получим: \[E_r = -\frac{q}{8\pi^2\varepsilon_0r'^2}\int_0^{2\pi}(\cos\varphi - a + 3a\cos^2\varphi)\,\mathrm{d}\varphi = -\frac{qa}{8\pi^2\varepsilon_0r'^2}\int_0^{2\pi}(3\cos^2\varphi - 1)\,\mathrm{d}\varphi.\] Здесь мы учли, что интеграл от тригонометрической функции за период равен нулю. Продолжая интегрирование: \[\int_0^{2\pi}(3\cos^2\varphi - 1)\,\mathrm{d}\varphi = \int_0^{2\pi}\frac{3\cos2\varphi + 1}{2}\,\mathrm{d}\varphi = \pi.\] Тогда для \(E_r\) имеем: \[E_r = -\frac{qr}{8\pi\varepsilon_0r'^3}.\] При переходе к исходному кольцу \(E_r \to \mathrm{d}E_r\), а \(q \to \mathrm{d}q = 2\pi r'\,\mathrm{d}r'\,\sigma\). Тогда для компоненты электрического поля кольца \(E_r\) получим: \[E_r = -\frac{\sigma r}{4\varepsilon_0}\int_{r_1}^{r_2}\frac{r'\,\mathrm{d}r'}{r'^3} = -\frac{\sigma r}{4\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).\]

Введём угол \(\alpha\) между плоскостью кольца и радиус-вектором \(\vec R\). Тогда для \(r\) и \(z\) получим: \[r = R\cos\alpha \qquad z = R\sin\alpha.\]

Для компонент электрического поля на поверхности шара получим: \[E_z = \frac{R\sin\alpha}{\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4\pi R^3} + \frac{\sigma}{2}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)\right) \qquad E_r = \frac{R\cos\alpha}{\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4\pi R^3} - \frac{\sigma}{4}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)\right).\] Величина электрического поля определяется выражением \(E = \sqrt{E_z^2 + E_r^2}\) и достигает экстремальных значений при \(\alpha = 0, \pi/2\). Поскольку заряды кольца и шара положительные, для них имеем: \[E_1 = E(0) = \left|\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2} - \frac{\sigma R}{4\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)\right| \qquad E_2 = E(\pi/2) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2} + \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).\] Поскольку \(E_1 < E_2\), окончательно находим: \[\left|\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2} - \frac{\sigma R}{4\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)\right| \le E \le \frac{Q}{4\pi R^2} + \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).\]

2. Для того чтобы электрическое поле можно было считать направленным вдоль оси \(z\) вращения системы, компонента \(E_r\) электрического поля должна обращаться в ноль, чему соответствует единственное значение \(\sigma\), равное: \[\sigma = \frac{Qr_1r_2}{R^3(r_2 - r_1)}.\]

Отметим, что при данном значении \(\sigma\) компонента \(E_z\) не обращается в ноль в точках, удалённых от плоскости кольца на значительное расстояние. Вблизи плоскости кольца компонента электрического поля \(E_z\) в точности стремится к нулю, а полученное нами приближение для компоненты \(E_r\) электрического поля становится неприменимым (для полученной \(\sigma\)), поскольку не учитывает более высоких членов разложения, и, соответственно, в точках, находящихся вблизи плоскости кольца, электрическое поле на довольно коротком участке становится направленным вдоль плоскости кольца.