В погоне за абсолютным нулём
9/10Цикл охлаждения должен осуществляться системой с характеристиками, подходящими для нужных температур. Сто лет назад, в 1926 году, химик Уильям Джиок и независимо от него физик Питер Дебай предложили парамагнитные соли как идеальные системы для понижения температуры значительно ниже 1 К. Действительно, уже в следующем десятилетии были достигнуты температуры до 0,0044 К (Вандер де Хаас и Геррит Вирсма, 1935, Лейденские криогенные лаборатории). В этой задаче изучается парамагнитный цикл Карно охлаждения.
Рассмотрим тор со средним радиусом \(R\) и внутренним радиусом \(r\), изготовленный из однородного изотропного парамагнитного материала, вокруг которого намотан изолированный проводящий провод, концы которого подключены к внешнему источнику напряжения (ЭДС), как показано на рис. 3a. Сопротивление провода настолько мало, что потерями энергии на нагрев провода можно пренебречь. Обмотка плотная, всего \(N\) витков; считаем \(r \ll R\), так что поля \(\vec H\) и \(\vec B\) и намагниченность \(\vec M\) имеют приблизительно постоянные модули по всему тору. Пусть \(V\) и \(A\) — объём и площадь поперечного сечения тора. Далее для парамагнитного тора используется сокращение Pm-T.
В парамагнетиках \(\vec M\) параллельна \(\vec H\), и выполняется соотношение \[\vec B = \mu_0\vec H + \mu_0\vec M.\]
Соглашение о знаках для энергии: в этой задаче работа (\(W\)) и теплота (\(Q\)) считаются положительными, когда они поступают в систему, и отрицательными, когда уходят из системы.
T3-A. Работа в Pm-T [1,0 балл]
Подсказка из условия: в магнетиках \(\oint_C \vec H\cdot d\vec\ell = I_C\), где \(I_C\) — чистый свободный ток, протекающий через площадь, ограниченную замкнутой кривой \(C\).
T3-A1 [0,2 балла]. Пусть \(H\) — модуль \(\vec H\) в торе. Выразите \(H\) через \(N\), \(A\), \(V\) и мгновенный электрический ток \(I\) в проводе.
T3-A2 [0,6 балла]. Пусть \(dW_{emf}\) — работа, которую внешний источник напряжения совершает, чтобы изменить модуль \(\vec B\) на \(dB\). Выразите \(dW_{emf}\) через \(V\), \(H\) и \(dB\).
T3-A3 [0,2 балла]. Полная работа, совершаемая источником напряжения, \(dW_{emf}\), может быть разделена на две части: работу, которую нужно было бы совершить для изменения магнитного поля, если бы тороид имел вакуумный сердечник, \(dW_{vac}\), и работу, совершённую над самим парамагнитным материалом, \(dW\). Выразите \(dW\) через \(\mu_0\), \(H\), \(V\) и \(dM\).
T3-B. Теплота и температура в Pm-T [3,0 балла]
Следующая таблица сравнивает две термодинамические системы: идеальный газ и Pm-T. Используйте эти сведения и ответ на вопрос T3-A3, чтобы решить следующие вопросы. Эти сведения понадобятся и в части C. Если вы не нашли ответа для \(dW\) в вопросе T3-A3, можно использовать \(dW = \alpha V\mu_0 H\,dM\), где \(\alpha\) — число. Объём \(V\) парамагнитного тора постоянен, поэтому работы из-за давления нет. Ниже \(T\) — температура во всех случаях.
Таблица (набрана текстом):
Идеальный газ: переменные состояния \(P\), \(V\) и температура \(T\); константы \(R\), \(\gamma\) и число молей \(n\); уравнение состояния \(PV = nRT\); теплоёмкость при постоянном \(V\): \(C_V = \dfrac{nR}{\gamma - 1}\); внутренняя энергия в любом процессе: \(dU = C_V\,dT\).
Парамагнитный тор (Pm-T): переменные состояния \(H\), \(M\) и температура \(T\); константы \(K\), \(\lambda\) и число молей \(n\); уравнение состояния \(TMV = nKH\); теплоёмкость при постоянной \(M\): \(C_M = n\lambda/T^2\); внутренняя энергия в любом процессе: \(dU = C_M\,dT\).
\(K\) и \(\lambda\) — константы, определяемые материалом тора. Можно использовать уравнения из таблицы без доказательства.
T3-B1 [1,5 балла]. Если модуль \(\vec H\) изотермически (при постоянной температуре \(T\)) меняется от \(H_i\) до \(H_f\), между Pm-T и окружающей средой передаётся энергия \(Q\). Выразите \(Q\) через \(\mu_0\), \(n\), \(V\), \(K\), \(H_i\), \(H_f\) и \(T\).
T3-B2 [1,5 балла]. Если модуль \(\vec H\) меняется адиабатически от \(H_i\) до \(H_f\), температура Pm-T меняется от \(T_i\) до \(T_f\). Выразите \(\Delta T = T_f - T_i\) через \(\mu_0\), \(V\), \(n\), \(K\), \(\lambda\), \(H_i\), \(H_f\) и \(T_i\).
T3-C. Карно-холодильник на Pm-T [6,0 балла]
На рис. 3b показана диаграмма \(H\) от \(T\) для цикла Карно холодильника \(1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1\), осуществляемого Pm-T. В этом цикле обозначено:
\(T_h\) — температура горячего резервуара;
\(T_c\) — температура холодного резервуара;
\(Q_h\) — модуль теплоты, переданной горячему резервуару;
\(Q_c\) — модуль теплоты, поглощённой от холодного резервуара.
T3-C1 [0,2 балла]. Отметьте \(T_h\) и \(T_c\) на оси \(T\) диаграммы \(H\) от \(T\). Также укажите процессы, в которых происходят передачи \(Q_h\) и \(Q_c\) соответственно.
T3-C2 [1,5 балла]. Пусть \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) и \(M_4\) — модули \(\vec M\) в вершинах этого цикла. Выразите \(M_1\) через \(M_2\), \(M_3\) и \(M_4\).
T3-C3 [0,8 балла]. Предположим, что для охлаждения 1,00 л жидкого гелия, первоначально имеющего температуру 1,00 К, используется 2,0 моль Pm-T из хромата калия. Для этого материала \(K = 1{,}87\times10^{-6}\) К·м\(^3\)/моль, плотность \(2730\) кг/м\(^3\), молярная масса \(0{,}19\) кг/моль. Pm-T совершает цикл Карно охлаждения с \(H_1 = 411624\) А/м, \(H_2 = 311306\) А/м, \(H_3 = 204618\) А/м и \(H_4 = 240446\) А/м. После одного рабочего цикла вычислите конечную температуру жидкого гелия. Считайте, что для жидкого гелия удельная теплоёмкость \(c = 100\) Дж/(кг·К) и плотность \(\rho = 130\) кг/м\(^3\) постоянны.
T3-C4 [2,0 балла]. Чтобы непрерывно понижать температуру тела с постоянной теплоёмкостью \(C_c\), циклы Карно проводятся во времени так, что мощность \(P\), передаваемая холодильнику, остаётся постоянной. Предполагается, что температура \(T_h\) горячего резервуара остаётся постоянной, а в каждом рабочем цикле температура \(T_c\) охлаждаемого тела уменьшается на \(dT_c\), удовлетворяя соотношению \(dQ_c/dQ_h = T_c/T_h\). Если при \(t = 0\) имеем \(T_c = T_0\), определите время \(t\), за которое холодильник Карно должен работать, чтобы охлаждаемое тело достигло температуры \(T < T_0\). Выразите ответ через \(C_c\), \(T_h\), \(P\), \(T_0\) и \(T\).
T3-C5 [1,5 балла]. Эффективность холодильника характеризуется коэффициентом производительности \(\mathrm{COP} = Q_c/W\). Определите полный COP холодильника из вопроса T3-C4 со всеми циклами, выполненными до момента времени \(t\). Ответ выразите через \(T_0\), \(T_h\) и \(T\).
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказкадля циклов Карно используйте соотношение \(Q_c/Q_h = T_c/T_h\) и выражение работы через \(dM\) и \(dH\); в части C работу холодильника удобно выразить через мощность \(P\) и время \(t\).
ОтветT3-A1) \(H = \dfrac{NIA}{V}\); T3-A2) \(dW_{emf} = VH\,dB\); T3-A3) \(dW = \mu_0 VH\,dM\); T3-B1) \(Q = -\mu_0\dfrac{nK}{T}\cdot\dfrac{H_f^2 - H_i^2}{2}\); T3-B2) \(\Delta T = T_i\left(\sqrt{\dfrac{\lambda + \mu_0KH_f^2}{\lambda + \mu_0KH_i^2}} - 1\right)\); T3-C1) см. рисунок решения: \(T_c\) и \(T_h\) на оси \(T\); \(Q_c\) — процесс \(2\to3\), \(Q_h\) — процесс \(4\to1\); T3-C2) \(M_1 = \sqrt{M_2^2 - M_3^2 + M_4^2}\); T3-C3) \(T_f = 0{,}99008\) К, \(|\Delta T| \approx 9{,}92\cdot 10^{-3}\) К; T3-C4) \(t = \dfrac{C_c T_h}{P}\left(\ln\dfrac{T_0}{T} - \dfrac{T_0 - T}{T_h}\right)\); T3-C5) \(\mathrm{COP} = \left(\dfrac{T_h}{T_0 - T}\ln\dfrac{T_0}{T} - 1\right)^{-1}\).
РешениеT3-A1. Поле \(\vec H\) внутри тора почти полностью сосредоточено в его сердцевине и образует концентрические окружности. Поэтому из закона о циркуляции \(\oint_C\vec H\cdot d\vec\ell = I_C\) следует \(H\cdot 2\pi R = NI\). Умножая и деля на \(A = \pi r^2\), получаем \[H = \frac{NI}{2\pi R}\cdot\frac{A}{\pi r^2} = \frac{NIA}{V}.\]
T3-A2. При изменении \(I\) возникает ЭДС самоиндукции \(\mathcal E_{\text{ind}}\). Поскольку \(\mathcal E + \mathcal E_{\text{ind}} = \text{сопротивление}\times I \approx 0\), из закона Фарадея работа внешней ЭДС равна \[dW_{emf} = \mathcal E\,dq = -\mathcal E_{\text{ind}}I\,dt = \frac{d\Phi_B}{dt}I\,dt = I\,d\Phi_B,\] где \(dq\) — заряд, протекающий за время \(dt\), а \(\Phi_B = NAB\) — магнитный поток поля \(\vec B\) внутри тора. Следовательно, \[dW_{emf} = NIA\,dB = VH\,dB.\]
T3-A3. Поскольку \(\vec B\), \(\vec H\) и \(\vec M\) параллельны, из \(\vec B = \mu_0\vec H + \mu_0\vec M\) получаем \[dB = \mu_0\,dH + \mu_0\,dM,\] откуда после подстановки в ответ на вопрос T3-A2: \[dW_{emf} = \mu_0 VH\,dH + \mu_0 VH\,dM.\] Следовательно, \[dW = \mu_0 VH\,dM.\]
T3-B1. Первое начало термодинамики для тора: \[dU = dW + dQ = \mu_0 VH\,dM + C\,dT.\] При постоянном \(M\) имеем \(dU = C_M\,dT = n\lambda\,dT/T^2\), т.е. \(U\) зависит только от \(T\). Поэтому для изотермических процессов \[dQ = -dW = -\mu_0 VH\,dM.\] Из уравнения состояния для изотермических процессов \(TV\,dM = nK\,dH\), и тогда \[dQ = -\mu_0 VH\left(\frac{nK}{TV}\,dH\right) = -\mu_0\frac{nK}{T}H\,dH.\] Интегрирование от \(H_i\) до \(H_f\) даёт \[Q = -\mu_0\frac{nK}{T}\cdot\frac{H_f^2 - H_i^2}{2}.\] Примечание: это выражение пропорционально объёму, поскольку содержит число молей.
T3-B2. Для адиабатических процессов первое начало даёт \(dU = dW\), затем \[\frac{n\lambda}{T^2}\,dT = \mu_0 VH\,dH = \mu_0 V\frac{TMV}{nK}\,dM,\] где использовано уравнение состояния для замены \(H\). Разделяя переменные: \[\frac{n\lambda}{T^3}\,dT = \mu_0\frac{V^2}{nK}\,M\,dM,\] и, следовательно, после интегрирования от \((T_i, M_i)\) до \((T_f, M_f)\): \[\frac{n\lambda}{2}\left(\frac{1}{T_i^2} - \frac{1}{T_f^2}\right) = \mu_0\frac{V^2}{nK}\cdot\frac{M_f^2 - M_i^2}{2}.\] Поскольку \(M = nKH/(TV)\), это уравнение упрощается до \[\frac{\lambda}{T_i^2} - \frac{\lambda}{T_f^2} = \mu_0 K\left(\frac{H_f^2}{T_f^2} - \frac{H_i^2}{T_i^2}\right),\] откуда \[\frac{T_f^2}{T_i^2} = \frac{\lambda + \mu_0 KH_f^2}{\lambda + \mu_0 KH_i^2}.\] Следовательно, \[\Delta T = T_f - T_i = T_i\left(\sqrt{\frac{\lambda + \mu_0 KH_f^2}{\lambda + \mu_0 KH_i^2}} - 1\right).\]
T3-C1.
На рисунке решения: \(T_L = T_c\), \(T_H = T_h\), \(Q_L = Q_c\), \(Q_H = Q_h\).
T3-C2. В цикле Карно \[\frac{Q_c}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h}.\] Для цикла Карно парамагнитного охлаждения \(Q_c = |Q_{2\to3}| = Q_{2\to3}\) и \(Q_h = |Q_{4\to1}| = -Q_{4\to1}\). Из ответа на вопрос T3-B1: \[Q_c = -\mu_0\frac{nK}{T_c}\cdot\frac{H_3^2 - H_2^2}{2} = \mu_0\frac{nK}{T_c}\cdot\frac{H_2^2 - H_3^2}{2},\] \[Q_h = -\left(-\mu_0\frac{nK}{T_h}\cdot\frac{H_1^2 - H_4^2}{2}\right) = \mu_0\frac{nK}{T_h}\cdot\frac{H_1^2 - H_4^2}{2},\] где \(T_c = T_2 = T_3\) и \(T_h = T_4 = T_1\) — температуры изотермических процессов \(2\to3\) и \(4\to1\). Подставляя в тождество Карно и упрощая: \[\frac{T_h}{T_c}\cdot\frac{H_2^2 - H_3^2}{H_1^2 - H_4^2} = \frac{T_c}{T_h}, \qquad \frac{H_2^2 - H_3^2}{T_c^2} = \frac{H_1^2 - H_4^2}{T_h^2}.\] Поскольку по уравнению состояния \(M = nKH/(TV)\), получаем \[M_2^2 - M_3^2 = M_1^2 - M_4^2, \qquad M_1 = \sqrt{M_2^2 - M_3^2 + M_4^2}.\]
T3-C3. Подставляя численные значения: \[Q_c = \mu_0\frac{nK}{T_c}\cdot\frac{H_2^2 - H_3^2}{2} = 1{,}29\times 10^{-1}\ \text{Дж}.\] Тогда \[|\Delta T|_{\text{гелий}} = \frac{1{,}29\times 10^{-1}\ \text{Дж}}{130\ \text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\times 10^{-3}\ \text{м}^3\times 10^2\ \text{Дж}\cdot\text{кг}^{-1}\cdot\text{К}^{-1}} = \frac{1{,}29}{1{,}30}\times 10^{-2}\ \text{К} = 9{,}92\times 10^{-3}\ \text{К}.\] Следовательно, \[T_f = T_i - |\Delta T| = 1{,}00\ \text{К} - 0{,}00992\ \text{К} = 0{,}99008\ \text{К}.\]
T3-C4. Из соотношения цикла Карно \(dQ_c/dQ_h = T_c/T_h\) и первого начала в дифференциальной форме \(dQ_h = dW + dQ_c\): \[\frac{dW + dQ_c}{dQ_c} = \frac{dW}{dQ_c} + 1 = -\frac{P\,dt}{C_c\,dT_c} + 1 = \frac{T_h}{T_c},\] где использовано \(dW = P\,dt\) и \(dQ_c = -C_c\,dT_c\). Отсюда после разделения переменных \[dt = -\frac{C_c T_h}{P}\left(\frac{dT_c}{T_c} - \frac{dT_c}{T_h}\right).\] Интегрируя от \(t = 0\) (\(T_c = T_0\)) до \(t\) (\(T_c = T\)): \[t = \frac{C_c T_h}{P}\left(\ln\frac{T_0}{T} - \frac{T_0 - T}{T_h}\right).\]
T3-C5. Поскольку \(W = Pt\) и \(Q_c = C_c(T_0 - T)\): \[W = Pt = C_c T_h\ln\frac{T_0}{T} - Q_c.\] Следовательно, \[\mathrm{COP} = \frac{Q_c}{W} = \left(\frac{T_h}{T_0 - T}\ln\frac{T_0}{T} - 1\right)^{-1}.\]