Бесконечная сетка проволочек

Во время измерений напряжение в очень далёких точках (узлах сетки) равно нулю. Поэтому, если мы соединим их хорошо проводящим проводом, то ничего не изменится. Назовём этот провод «бесконечность». Пусть во время измерений сопротивления между точками 1 и 2 напряжение, измеренное идеальным вольтметром, равно \(U\), а ток в измерительной цепи, содержащей источник питания и идеальный амперметр, равен \(I\). Возьмём теперь два одинаковых источника тока, каждый из которых даёт фиксированный ток \(I\). Первый источник подключим к точке 1 и «бесконечности» так, чтобы ток \(I\) тёк по сетке от точки 1 к «бесконечности». Сейчас распределение тока по разным направлениям (по шести проводникам, подключённым к точке 1) равномерно. Второй источник подсоединим к точке 2 и «бесконечности» так, чтобы он снимал с точки 2 ток \(I\), текущий к ней по сетке из «бесконечности». В силу линейности цепи ток в любой её точке теперь будет суммой токов этих двух источников, для каждого из которых распределение тока симметрично относительно точки, к которой он подключён. После этого можно убрать провод «бесконечность», поскольку сумма притекающих к нему и оттекающих от него токов равна нулю. Теперь мы видим, что получилась исходная схема.

Рассмотрим вначале случай, когда один источник подключён к точке 1 и «бесконечности». На рисунке показаны участки (пунктирные линии их пересекают), где ток не идёт из соображений симметрии. Очевидно, что \(I_{12} = I_{23} + 2I_{24}\), и \(I = 6I_{12}\).

При измерении \(R_{12} = R\) ток, текущий по проволочке 1–2, очевидно, будет \(2I_{12}\), поскольку токи двух источников складываются. Напряжение между точками 1 и 2 будет равно \(2r_0I_{12}\), где \(r_0\) — сопротивление одной проволочки. Отсюда \(R_{12} = R = 2r_0I_{12}/I = r_0/3\). При измерении \(R_{13} = r\) напряжение между точками 1 и 3 будет равно \(2r_0(I_{12} + I_{23})\), поскольку текущий по проволочкам 1–2 и 2–3 суммарный ток будет одинаков и равен \(I_{12} + I_{23}\), а сопротивление \[R_{13} = r = 2r_0(I_{12} + I_{23})/I = R(1 + a),\] где для \(a = I_{23}/I_{12}\) из последнего уравнения получаем: \(a = (r - R)/R\).

Аналогично получаем, что при измерении \(R_{14}\) текущий по проволочкам 1–2 и 2–4 суммарный ток будет одинаков и равен \(I_{12} + I_{24}\), напряжение между точками 1 и 4 будет равно \(2r_0(I_{12} + I_{24})\), и сопротивление \[R_{14} = 2r_0(I_{12} + I_{24})/I = R(1 + b),\] где для \(b = I_{24}/I_{12}\) из этого уравнения получаем: \(b = (R_{14} - R)/R\). Поскольку \(I_{12} = I_{23} + 2I_{24}\), или \(1 = a + 2b\), то, подставляя \(a\) и \(b\), выраженные через \(R\), \(r\) и \(R_{14}\), в последнее уравнение, получаем: \(1 = \dfrac{r - R}{R} + 2\dfrac{R_{14} - R}{R}\), откуда \(R_{14} = 2R - \dfrac{r}{2}\).