Капли ртути и воды

Введём какой-нибудь характерный размер капли, по которому можно полностью определить её размеры, если известна форма капли. Например, выберем в качестве такого размера «высоту» капли \(H\).

Форма капли заданного объёма \(V\), который пропорционален \(H^3\), определяется условием минимума суммарной потенциальной энергии капли, которая складывается из энергии \(E_1\), связанной с наличием поверхностного натяжения жидкости, и энергии \(E_2\), связанной с наличием поля силы тяжести: \(E_1 \sim \sigma H^2\), \(E_2 \sim \rho gH^4\).

Одна из составляющих суммарной энергии пропорциональна \(V/H\), а другая — произведению \(V\cdot H\). Отношение этих составляющих \(E_1/E_2\) для капель одинаковой формы, должно быть одинаково, поскольку именно соотношением этих энергий и определяется форма капли. Поэтому должно выполняться следующее соотношение: \(\dfrac{\sigma_{\text{в}}H_{\text{в}}^2}{\rho_{\text{в}}gH_{\text{в}}^4} = \dfrac{\sigma_{\text{р}}H_{\text{р}}^2}{\rho_{\text{р}}gH_{\text{р}}^4}\). Отсюда следует, что \(\dfrac{H_{\text{р}}^2}{H_{\text{в}}^2} = \dfrac{\sigma_{\text{р}}\rho_{\text{в}}}{\sigma_{\text{в}}\rho_{\text{р}}}\). Отношение масс капли ртути и капли воды, таким образом, равно \[\dfrac{M_{\text{р}}}{M_{\text{в}}} = \dfrac{\rho_{\text{р}}H_{\text{р}}^3}{\rho_{\text{в}}H_{\text{в}}^3} = \dfrac{\rho_{\text{р}}}{\rho_{\text{в}}}\cdot\left(\dfrac{\sigma_{\text{р}}\rho_{\text{в}}}{\sigma_{\text{в}}\rho_{\text{р}}}\right)^{3/2} = \left(\dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{р}}}\right)^{1/2}\cdot\left(\dfrac{\sigma_{\text{р}}}{\sigma_{\text{в}}}\right)^{3/2} = \left(\dfrac{1}{13{,}6}\right)^{1/2}\cdot\left(\dfrac{0{,}46}{0{,}07}\right)^{3/2} \approx 0{,}271\cdot 16{,}85 \approx 4{,}6.\]