КПД цикла с нелинейным участком

Перестройте цикл в координатах \(pV\): на участке 1–2 давление линейно зависит от объёма. Работа цикла равна площади треугольника 1–2–3.

1) Перестроим график из координат \(pT\) в координаты \(pV\): процесс 2–3 — изохора, 3–1 — изобара. Для процесса 1–2 по условию \(p = \alpha\sqrt T\), откуда \(T = \dfrac{p^2}{\alpha^2}\). Подставляя это в уравнение состояния идеального газа, получаем \(pV = R\dfrac{p^2}{\alpha^2}\), откуда \[p = \frac{\alpha^2}{R}\,V,\] то есть \(p\) линейно зависит от \(V\) на участке 1–2.

2) Полезная работа за цикл равна площади треугольника в координатах \(pV\): \[A_\text{полезн} = \frac12(p_2 - p_1)(V_2 - V_1) = \frac{R}{2}\left(\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}\right)^2.\]

3) Тепло, полученное на участке 1–2: \(Q_{1\text{--}2} = \Delta U_{1\text{--}2} + A_{1\text{--}2}\), где \(\Delta U_{1\text{--}2} = \dfrac32 R(T_2 - T_1)\), \(A_{1\text{--}2} = \dfrac{R}{2}(T_2 - T_1)\). Итак, \(Q_{1\text{--}2} = 2R(T_2 - T_1)\).

4) КПД цикла: \[\eta = \frac{A_\text{полезн}}{Q_{1\text{--}2}} = \frac{\left(\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}\right)^2}{4\left(T_2 - T_1\right)} = \frac14\cdot\frac{\sqrt{T_2/T_1} - 1}{\sqrt{T_2/T_1} + 1} = \frac14\cdot\frac{\sqrt n - 1}{\sqrt n + 1}.\] При \(n = 2\): \(\eta = \dfrac14\cdot\dfrac{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 + 1} \approx 0{,}043\).