Опорожнение ванны с галькой

Скорость вытекания воды найдите по формуле Торричелли. Скорость убывания уровня зависит от самого уровня; для такого уравнения полезна замена переменных, при которой оно совпадает с уравнением для полностью заполненной ванны.

Скорость вытекания воды через небольшое отверстие в дне зависит от уровня жидкости в ванне. Эта зависимость следует из закона сохранения механической энергии: небольшая масса воды, находящаяся в тонком верхнем слое жидкости, «исчезает», а из сливного отверстия, находящегося на расстоянии \(h\) ниже, выливается такое же количество воды со скоростью \(V\): \(mgh = mV^2/2\). То есть \(V = \sqrt{2gh}\) (формула Торричелли). Значит, высота уровня жидкости убывает со скоростью, которая зависит от уровня воды; при этом указанная скорость убывания уровня обратно пропорциональна площади поперечного сечения ванны \(S\) и прямо пропорциональна площади сливного отверстия \(s\). Эта зависимость выражается уравнением, которое представляет собой условие сохранения массы вытекающей из ванны воды: \[\frac{\Delta h}{\Delta t} = -\frac{s}{S}\sqrt{2gh}.\] Известно, что из заполненной полностью ванны вода вытекает за время \(\tau\). Найдём, за какое время вода вытечет из ванны, заполненной на четверть. Пусть \(h(t)\) — зависимость высоты уровня воды от времени в этом случае, \(h(0)=H/4\), где \(H\) — высота ванны. Введём новые переменные \(h' = 4h\), \(t' = 2t\). В новых переменных \[\frac{\Delta h'}{\Delta t'} = -\frac{s}{S}\sqrt{2gh'}, \qquad h'(0) = H,\] то есть получилось точно такое же уравнение с таким же начальным условием, как и для полностью заполненной ванны. Значит, \(h'=0\) при \(t'=\tau\), то есть при \(t=\tau/2\). Получается, что последняя четверть объёма ванны опорожняется за время \(\tau/2\), если камней в ванне нет. Первые три четверти опорожняются за время \(\tau-\dfrac{\tau}{2}=\dfrac{\tau}{2}\). Так как времена опорожнения ванны без камней и ванны с камнями, согласно условию, отличаются в два раза, то из записанного уравнения следует, что сечение, «занятое» водой, в ванне с камнями равно \(S/2\). Поэтому время опорожнения последней четверти ванны, если она заполнена камнями, будет равно \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\tau}{2}=\dfrac{\tau}{4}\). Время опорожнения ванны, заполненной камнями только на 25%, составит, следовательно: \[\frac{\tau}{2} + \frac{\tau}{4} = \frac{3\tau}{4}\] (поскольку сначала площадь водного зеркала в ванне равна \(S\), а затем, когда уровень воды доходит до камней, площадь водного зеркала уменьшается в 2 раза).