Шарики в магнитном поле и детектор

Разложите скорость на продольную (вдоль \(Z\)) и поперечную части. Поперечная часть даёт окружность, период которой не зависит от угла. Как далеко шарик смещается вдоль оси между соударениями?

Пусть шарик вылетает из точки А под углом \(\gamma\) к оси \(Z\), \(\alpha \le \gamma \le \beta\). Движение в магнитном поле — суперпозиция равномерного движения вдоль оси \(Z\) со скоростью \(V\cos\gamma\) и равномерного движения по окружности со скоростью \(V\sin\gamma\) в плоскости \(XY\).

Сила Лоренца \(qBV\sin\gamma\) сообщает заряду центростремительное ускорение \(m(V\sin\gamma)^2/R\). Отсюда радиус окружности \(R = \dfrac{mV\sin\gamma}{qB}\), а период оборота \[T = \frac{2\pi R}{V\sin\gamma} = \frac{2\pi m}{qB}\] не зависит от \(\gamma\): все шарики ударяются о детектор через одинаковые промежутки времени. Но продольные скорости разные, поэтому точки ударов разные. За один оборот шарик смещается вдоль \(Z\) на \(l = VT\cos\gamma\). Так как \(\cos\beta \le \cos\gamma \le \cos\alpha\), первые удары приходятся на координаты \[l \in (l_{\min}, l_{\max}), \qquad l_{\min} = \frac{2\pi mV\cos\beta}{qB}, \quad l_{\max} = \frac{2\pi mV\cos\alpha}{qB}.\]

После упругого удара шарик улетает с той же по модулю скоростью, угол с осью \(Z\) сохраняется, поэтому дальше шарики возвращаются на детектор через равные расстояния \(l\), зависящие от угла вылета \(\gamma\). Со второго удара светятся участки \((2l_{\min}, 2l_{\max})\), а в \(n\)-й раз — участок \((nl_{\min}, nl_{\max})\) длиной \(n(l_{\max} - l_{\min})\). Неосвещённый участок пропадает, когда эта длина становится не меньше \(l_{\max}\): \[n(l_{\max} - l_{\min}) \ge l_{\max} \quad\Leftrightarrow\quad n \ge \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha - \cos\beta} \approx 3{,}16.\] Значит, начиная с третьего удара неосвещённый отрезок пропадает.