Сосуд в вертикальной трубе

Давление жидкости растёт с глубиной линейно, поэтому стенки прижимаются к трубе с силой, которую можно найти через среднее давление. Сравните силу трения с весом сосуда и воды.

Сила, удерживающая сосуд, — сила трения о трубу, возникающая из-за того, что столб жидкости распирает стенки вбок (закон Паскаля). Суммарная сила \(N\), с которой жидкость давит на стенки, найдём так. Давление растёт линейно с глубиной от нуля у поверхности до \(p_{\max} = \rho g H\) на глубине \(H\). На площади контакта \(2\pi R H\) среднее давление равно \(p_{\max}/2\), так как для любого участка стенки с давлением выше \(p_{\max}/2\) на \(\Delta p\) найдётся симметричный участок с давлением ниже на \(\Delta p\), и такие участки расположены симметрично относительно уровня \(H/2\). Значит, \[N = 2\pi R H \cdot \frac{p_{\max}}{2} = \pi\rho g R H^2.\] Сила трения не может превзойти \(\mu N\).

Масса воды \(M_0 = \rho\pi R^2 H\), значит сила тяжести сосуда с водой равна \(Mg + \rho\pi R^2 H g\). Условие застревания: \[Mg + \rho\pi R^2 H g \le \mu\pi R\rho g H^2 .\] Это квадратное неравенство по \(H\): \[\mu\pi R\rho g H^2 - \rho\pi R^2 g H - Mg \ge 0.\] Разделим всё на \(\rho\pi R g\) и введём \(z = H/R\): \[\mu z^2 - z - a \ge 0, \qquad a = \frac{Mg}{\rho\pi R^3}.\] Корни: \(z = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4\mu a}}{2\mu}\). Отрицательный корень нефизичен, поэтому \(H = Rz\) должно быть не меньше \(R\dfrac{1 + \sqrt{1 + 4\mu a}}{2\mu}\).