Легкая разминка

В 1.1.1 подумай, чему равна \(U=C_VPV\) при неизменном давлении; тепло уходит вместе с воздухом, вышедшим наружу. В 1.2 интенсивность \(I\sim 1+\cos\varphi\), а разность фаз пропорциональна изменению площади. В 1.3 законы сохранения импульса и энергии для рассеяния назад.

1.1.1) \(\Delta U=0\);  1.1.2) \(Q=\dfrac{7}{4}PV\left(\dfrac{\Delta T}{T_0}\right)^2\approx52\) кДж;  1.2) \(\Delta S_2=\Delta S_1/5\);  1.3) \(\Delta\lambda=\dfrac{2h}{mc}\approx4{,}8\cdot10^{-12}\) м.

Задача 1.1

1.1.1 Внутренняя энергия газа рассчитывается по формуле \[U = C_V \nu R T.\tag{1}\] Запишем также уравнение состояния газа \[PV = \nu R T.\tag{2}\] Из этих уравнений следует, что \[U = C_V PV.\tag{3}\] Внутренняя энергия воздуха в комнате не изменилась.

1.1.2 Тем не менее на нагревание воздуха теплота необходима. Изменение внутренней энергии оказалось равным нулю потому, что часть воздуха вышла наружу. Сложность расчёта полного количества теплоты заключается в том, что в процессе разные порции воздуха выходили при разных температурах, получая разное количество теплоты.

Рассмотрим, как изменялось количество воздуха в комнате при изменении температуры. Выразим из (2) количество вещества в комнате: \[\nu = \frac{PV}{RT}.\tag{4}\] Тогда при изменении температуры на малую величину \(dT\) число молей уменьшалось на \[d\nu = \frac{PV}{R}\frac{dT}{T^2}.\tag{5}\] Эта порция воздуха получила количество теплоты \[\delta Q = C_P (T - T_0)\, d\nu = C_P \frac{PV}{R}\frac{T - T_0}{T^2}\, dT.\tag{6}\] Здесь \(C_P = C_V + R = \frac{7}{2}R\) — молярная теплоёмкость при постоянном давлении (процесс изобарный). Для точного расчёта необходимо проинтегрировать (6). Однако относительное изменение абсолютной температуры невелико, поэтому в знаменателе можно пренебречь изменением температуры. Тогда количество теплоты, унесённое на улицу, можно представить в виде \[Q = \frac{C_P}{R}PV\,\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^2 = \frac{7}{4}PV\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^2 \approx 52\ \text{кДж}.\tag{7}\] Это выражение можно представить и в наглядной форме (её можно получить из качественных рассуждений): \[Q = \frac{1}{2}C_P \Delta\nu\,\Delta T.\tag{8}\]

Задача 1.2

Причина изменения интенсивности отражённого света — интерференция волн, отражённых от передней и задней поверхностей плёнки. При интерференции двух волн одинаковой интенсивности интенсивность результирующей волны \[I = I_0(1 + \cos\varphi),\tag{1}\] где \(\varphi\) — разность фаз между интерферирующими волнами. Она пропорциональна толщине плёнки, то есть обратно пропорциональна её площади. При малом изменении площади толщина также меняется мало: \[h = \frac{h_0 S_0}{S_0 + \Delta S} \approx h_0\left(1 - \frac{\Delta S}{S_0}\right).\tag{2}\] Следовательно, изменение разности фаз пропорционально изменению площади. При площади \(S_0\) интенсивность максимальна, поэтому разность фаз тогда была равна нулю (целое число \(2\pi\)), \(I = 2I_0\). Затем интенсивность монотонно убывала (все изменения происходят в пределах одного порядка интерференции) и уменьшилась в 4 раза, то есть стала равной \(0{,}5I_0\). Из (1) \(\cos\varphi = -0{,}5\), что соответствует разности фаз \(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5}{6}\pi\). Чтобы интенсивность стала равной нулю, разность фаз должна стать равной \(\pi\), то есть фаза должна дополнительно измениться на \(\dfrac{\pi}{6}\). Это в 5 раз меньше, чем при изменении площади на \(\Delta S_1\); так как изменение разности фаз и изменение площади пропорциональны, то \[\Delta S_2 = \frac{1}{5}\Delta S_1.\tag{3}\]

Задача 1.3

Запишем уравнения закона сохранения импульса \[\frac{h}{\lambda_0} = -\frac{h}{\lambda} + p\tag{1}\] и закона сохранения энергии \[\frac{hc}{\lambda_0} + mc^2 = \frac{hc}{\lambda} + E.\tag{2}\] Здесь \(p\), \(E\) — импульс и энергия электрона после взаимодействия. Добавим уравнение связи между энергией и импульсом электрона \[E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4.\tag{3}\] При аккуратном решении системы (1)–(3) получаем известный результат для сдвига длины волны: \[\Delta\lambda = 2\frac{h}{mc} = 4{,}8\cdot 10^{-12}\ \text{м}.\tag{4}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.