Негармонические колебания

Для периода при любой амплитуде перейди к переменной \(z=x^2\): закон сохранения энергии в ней превращается в уравнение гармонических колебаний.

1.2) колебания, не гармонические;  1.3) \(x\in\left[\dfrac{a^2}{x_0},\,x_0\right]\);  1.4) \(T=\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}\);  1.5) \(T=\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}\) (то же);  1.6) \(z=x^2\) колеблется гармонически с \(\omega^2=8k/m\), период от \(x_0\) не зависит;  1.7) \(x(t)=\dfrac{a}{3}\sqrt{41+40\cos\omega t}\), \(\omega=\sqrt{8k/m}\).

1.1 Свойства функции \(U(x) = ka^2\left(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{a^2}{x^2} - 2\right)\): функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат; она обращается в нуль при \(x = a\); при \(x \to 0\) потенциальная энергия стремится к бесконечности (в нуле бесконечный потенциальный барьер); при \(x \to \infty\) функция приближается к квадратичной (график — к параболе). Этого достаточно для схематического графика: две ветви, каждая с минимумом \(U = 0\) в точках \(x = \pm a\), уходящие вверх у нуля и при больших \(|x|\).

1.2 Потенциальная кривая имеет точку минимума, то есть положение устойчивого равновесия, поэтому точка совершает колебательное движение. Так как зависимость потенциальной энергии от координаты не квадратичная, колебания не будут гармоническими.

1.3 Вблизи \(x = 0\) потенциальная энергия стремится к бесконечности, поэтому материальная точка не сможет преодолеть этот барьер, и достаточно рассматривать \(x > 0\). Воспользуемся законом сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} + U(x) = U(x_0),\tag{2}\] где полная энергия определяется начальным условием \(E = U(x_0)\). Точки возврата (где скорость обращается в нуль) задаются уравнением \[U(x) = U(x_0).\tag{3}\] Для определения пределов движения нужно решить (выбирая только положительные корни) \[ka^2\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{a^2}{x^2} - 2\right) = ka^2\left(\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{a^2}{x_0^2} - 2\right).\tag{4}\] Уравнение сводится к биквадратному, но проще заметить, что оно симметрично относительно замены \(\dfrac{x}{a} \to \dfrac{a}{x}\). Поэтому второй положительный корень \(x_1 = \dfrac{a^2}{x_0}\). Таким образом, точка движется внутри интервала \[x \in \left[\frac{a^2}{x_0},\, x_0\right].\tag{5}\]

1.4 Малые колебания происходят вблизи положения равновесия \(x = a\). Представим координату в виде \(x = a + y\), где \(y \ll a\). Преобразуем потенциальную функцию: \[U(x) = ka^2\left(\frac{(a+y)^2}{a^2} + \frac{a^2}{(a+y)^2} - 2\right) = ka^2\,\frac{\bigl((a+y)^2 - a^2\bigr)^2}{(a+y)^2 a^2} = ka^2\,\frac{(2ay + y^2)^2}{(a+y)^2 a^2}.\tag{6}\] Пренебрегая слагаемыми порядка выше \(y^2\), получаем \[U(x) \approx ka^2\,\frac{(2ay)^2}{a^2 \cdot a^2} = 4ky^2.\tag{7}\] Закон сохранения энергии принимает вид \[\frac{mv^2}{2} + 4ky^2 = 4ky_0^2,\tag{8}\] это уравнение гармонических колебаний с круговой частотой \(\omega^2 = \dfrac{8k}{m}\). Период малых колебаний \[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{8k}} = \pi\sqrt{\frac{m}{2k}}.\tag{9}\]

1.5 При больших амплитудах колебаний можно приближённо считать, что \[U(x) \approx kx^2.\tag{10}\] Эта функция обращается в бесконечность при \(x = 0\) (приближённо). Движение можно представить как гармонические колебания при \(x > 0\) и абсолютно упругое отражение в начале координат. Поэтому период таких колебаний равен половине периода гармонических колебаний с потенциальной энергией (10): \[T = \frac{1}{2}\cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}} = \pi\sqrt{\frac{m}{2k}}.\tag{11}\] Этот период совпадает с периодом малых колебаний.

1.6 Воспользуемся подсказкой и получим уравнение для \(z = x^2\). Скорость изменения этой величины \[V_z = z' = 2xx' = 2xv,\tag{12}\] тогда \[v = \frac{V_z}{2x}.\tag{13}\] Выразим потенциальную энергию через \(z\): \[U(x) = ka^2\left(\frac{z}{a^2} + \frac{a^2}{z} - 2\right).\tag{14}\] Подставим в закон сохранения энергии: \[\frac{m}{2}\left(\frac{V_z}{2x}\right)^2 + k\frac{(z - a^2)^2}{z} = k\frac{(z_0 - a^2)^2}{z_0}.\tag{15}\] Учитывая, что \(x^2 = z\), получим \[\frac{m}{2}V_z^2 + 4k(z - a^2)^2 = 4k\frac{(z_0 - a^2)^2}{z_0}\,z.\tag{16}\] Выделяя в этом уравнении полный квадрат относительно \(z\), приводим его к виду \[\frac{m}{2}V_z^2 + 4k(z - b)^2 = E.\tag{17}\] Это тоже уравнение гармонических колебаний, период которых не зависит от амплитуды. Следовательно, переменная \(z\) (а поэтому и \(x = \sqrt z\)) изменяется периодически с постоянным периодом, не зависящим от амплитуды колебаний.

1.7 Проще всего рассуждать так: переменная \(z\) изменяется по гармоническому закону, поэтому отклонения от средней точки в обе стороны одинаковы; координата \(x\) изменяется в пределах \(\left[\dfrac{a^2}{x_0}, x_0\right]\), поэтому \(z = x^2\) лежит в интервале \(\left[\dfrac{a^4}{x_0^2}, x_0^2\right]\). Средняя точка \(\bar z = \dfrac{1}{2}\left(x_0^2 + \dfrac{a^4}{x_0^2}\right)\), амплитуда \(A = x_0^2 - \bar z = \dfrac{1}{2}\left(x_0^2 - \dfrac{a^4}{x_0^2}\right)\). Закон изменения \(z\) (период задаётся формулой (9)): \[z = \bar z + A\cos\omega t = \frac{1}{2}\left(x_0^2 + \frac{a^4}{x_0^2}\right) + \frac{1}{2}\left(x_0^2 - \frac{a^4}{x_0^2}\right)\cos\omega t.\tag{18}\] Возвращаясь к координате точки, \[x(t) = \sqrt{\frac{1}{2}\left(x_0^2 + \frac{a^4}{x_0^2}\right) + \frac{1}{2}\left(x_0^2 - \frac{a^4}{x_0^2}\right)\cos\omega t}.\tag{19}\] При \(x_0 = 3a\) \[x(t) = \frac{a}{3}\sqrt{41 + 40\cos\omega t},\qquad \omega = \sqrt{\frac{8k}{m}}.\tag{20}\]

1.8 График \(x(t)/a\) от \(t/T\): периодическая кривая, максимум \(3\) при \(t = 0, T, 2T, \ldots\), минимум \(1/3\) при \(t = T/2, 3T/2, \ldots\); вблизи максимума кривая пологая, вблизи минимума — «острая».

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.