Поршни и количество теплоты

Условие равновесия поршня связывает давления над и под ним через его вес. Для ответа на второй вопрос выразите давление и температуру через высоту поршня и проверьте, при каком значении высоты знаменатель обращается в ноль.

Пусть \(p_1\) — давление в нижней части, \(p_2\) — давление в верхней. Тогда \(p_1=p_2+\dfrac{Mg}{S}\). Начальное состояние газа в каждом отсеке: \(\left(p_2+\dfrac{Mg}{S}\right)hS=2\nu RT\), \(p_2(H-h)S=\nu RT\), где \(\nu=\nu_2\). Отсюда при произвольной высоте \(h\) поршня \[p_2=\frac{Mgh}{S(2H-3h)}=\frac{Mg}{S\left(\frac{2H}{h}-3\right)}, \qquad T=\frac{p_2(H-h)S}{\nu R}=\frac{Mg}{\nu R}\cdot\frac{H-h}{\frac{2H}{h}-3}.\] При \(h=H/3\): \(p_2=\dfrac{Mg}{3S}\), \(T=\dfrac{2}{9}\dfrac{MgH}{\nu R}\).

Сообщаем сосуду теплоту \(Q\), которая идёт на нагрев газа во всех частях и на подъём поршня: \(Q=\dfrac32\cdot 3\nu R\,dT+Mg\,dh\), где \(dh=h'-h=\dfrac{H}{2}-\dfrac{H}{3}=\dfrac{H}{6}\), а \(dT=T'-T\). Для новых значений \(p_2'=\dfrac{Mg}{S}\) и \(T'=\dfrac{MgH}{2\nu R}\) (поршень на высоте \(H/2\)) получаем \(dT=\dfrac{MgH}{2\nu R}-\dfrac{2}{9}\dfrac{MgH}{\nu R}=\dfrac{5}{18}\dfrac{MgH}{\nu R}\). Тогда \[Q=\frac{9}{2}\nu R\cdot\frac{5}{18}\frac{MgH}{\nu R}+\frac{MgH}{6}=\frac{5}{4}MgH+\frac{1}{6}MgH=\frac{17}{12}MgH.\]

Для второго вопроса объемы относятся как \(1\!:\!2\) при \(h=\dfrac{2}{3}H\). Тогда знаменатель \(\dfrac{2H}{h}-3=0\), давление и температура обеих частей стремятся к бесконечности, и для этого потребовалась бы бесконечная энергия. Ответ: бесконечность (ситуация невозможна).