Шайба с грузиком между ограждениями

Пока грузик не касается стенки полости, шайба и грузик движутся как одно целое, а значит, ускорений нет, и все события можно искать, сравнивая промежутки времени до следующих столкновений. Удобно перейти в систему отсчёта, связанную с шайбой.

Шайба движется равномерно, а грузик покоится в системе отсчёта, связанной с шайбой, до момента столкновения с правым ограждением.

А) Столкновение шайбы с правым ограждением. Удар абсолютно упругий: шайба начинает двигаться влево со скоростью \(v_0\), а грузик продолжает двигаться вправо с той же скоростью \(v_0\) по инерции. Время до этого столкновения: \(\Delta t_1=\dfrac{\frac{H}{2}-R}{v_0}=\dfrac{\frac{3{,}5R}{2}-R}{v_0}=0{,}75\,\dfrac{R}{v_0}\).

Б) Первое столкновение грузика со стенкой шайбы. Законы сохранения импульса и энергии для шайбы с грузиком (скорости шайбы \(u_1\) и грузика \(v_1\) после удара): \(-mv_1+Mu_1=mv_2+Mu_2\), \(\quad \dfrac{mv_1^2}{2}+\dfrac{Mu_1^2}{2}=\dfrac{mv_2^2}{2}+\dfrac{Mu_2^2}{2}\). Решая их с \(M=4m\), находим \(u_2=\dfrac15 v_0\), \(v_2=\dfrac{11}{5}v_0\). Промежуток времени между столкновениями А и Б: грузик проходит расстояние \(R\) со скоростью \(2v_0\) относительно шайбы, поэтому \(\Delta t_2=\dfrac{R}{2v_0}=0{,}5\,\dfrac{R}{v_0}\). За это время шайба проходит \(S_2=u_1\Delta t_2=\dfrac{R}{2}\).

Дальше сравниваются два события: столкновение шайбы с левым ограждением или второе столкновение грузика со стенкой шайбы. Шайбе до левого ограждения осталось пройти \(L_3=R\), время \(T_3=\dfrac{L_3}{u_2}=5\dfrac{R}{v_0}\). Грузику до стенки шайбы нужно пройти \(l_3=2R\) относительно шайбы, время \(\tau_3=\dfrac{l_3}{v_2-u_2}=\dfrac{R}{v_0}\). Так как \(\tau_3<T_3\), первым произойдет второе столкновение грузика со стенкой шайбы.

В) Второе столкновение грузика со стенкой шайбы. Аналогично из законов сохранения получаем \(v_3=v_0\) и \(u_3=v_0\). Промежуток времени между столкновениями Б и В: \(\Delta t_3=\tau_3=\dfrac{R}{v_0}\), шайба за это время проходит путь \(S_3=u_2\Delta t_3=\dfrac{R}{5}\).

Окончательно: время до столкновения шайбы с левым ограждением \(T_4=0{,}8\,\dfrac{R}{v_0}\), а время до третьего столкновения грузика со стенкой шайбы \(\tau_4=\dfrac{R}{v_0}\). Так как \(T_4<\tau_4\), следующим событием будет столкновение шайбы с левым ограждением.

Искомое время: \[\Delta t=\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+T_4=0{,}75\dfrac{R}{v_0}+0{,}5\dfrac{R}{v_0}+ \dfrac{R}{v_0}+0{,}8\dfrac{R}{v_0}=3{,}05\,\dfrac{R}{v_0}.\]