Колебания линейки на цилиндре
Если положить линейку на неподвижный цилиндр так, чтобы в положении равновесия она располагалась горизонтально, и если вывести ее из положения равновесия, то она будет совершать колебания. В данном задании Вам необходимо исследовать такие колебания.
Приборы и оборудование: набор цилиндров, 2 деревянных линейки 40 см, штангенциркуль, секундомер, кусок пластилина.
Часть1. Зависимость периода от диаметра.
Чтобы цилиндр оставался неподвижным, прикрепите его к столу с помощью кусочка пластилина. В данной части вам необходимо исследовать зависимость периода колебаний линейки от диаметра цилиндра. Измерения следует провести для одной линейки и двух линеек скрепленных друг с другом параллельно (сдвоенная линейка).
1.1 Измерьте периоды колебаний одной линейки и сдвоенной линейки на цилиндре самого малого диаметра с максимально возможной точностью.
1.2 Рассчитайте приборную, случайную и полную погрешности измерения этих периодов.
Все результаты занесите в Таблицу 1 листов ответов. В первом столбце приведите формулы, по которым были проведены расчеты.
1.3 Измерьте зависимости периодов колебаний линейки и сдвоенной линейки от диаметра цилиндров. Не забудьте измерить диаметры цилиндров. Постройте графики полученных зависимостей. Оценка погрешностей не требуется. Результаты измерений занесите в Таблицы 2 и 3.
Теоретическая подсказка Можно показать, что зависимость периода рассмотренных колебаний \(T\) от диаметра цилиндра \(d\) описывается формулой (вывод этой формулы не требуется и не оценивается)
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{A}{d - a}}.\tag{1}\]
где \(A\) и \(a\) - постоянные, зависящие от размеров линейки.
1.4 Линеаризуйте зависимость (1) таким образом, что бы по ней можно было а) проверить формулу (1); и б) определить параметры этой зависимости \(A\) и \(a\).
1.5 Постройте графики линеаризованных зависимостей. Укажите, применима ли формула (1) для описания результатов ваших измерений. Результаты расчетов занесите в свободные столбцы Таблиц 2 и 3.
1.6 Рассчитайте численные значения параметра \(a\) и его погрешность для одной и сдвоенной линеек. Попытайтесь «угадать» наглядный смысл этого параметра.
1.7 Определите, при каких значениях диаметра цилиндра, горизонтальное положение линейки будет устойчивым.
Часть2. Зависимость периода колебаний от положения грузов.
Оценка погрешностей в данной части не требуется.}
Измерения в этой части проводите только с одной линейкой и на цилиндре максимального диаметра.
Прикрепите к линейке симметрично две пары магнитов. Обозначим расстояние от середины линейки \(x\).
2.1 Измерьте зависимость периода колебаний линейки от положения магнитов \(x\). Постройте график полученной зависимости.
Результаты измерений занесите в Таблицу 4 листов ответов.
Для данных колебаний формула для периода колебаний (1) также применима, только величина \(A(x)\) является некоторой функцией от \(x\).
2.2 На основании простых физических рассуждений предложите вид зависимости \(A(x)\).
2.3 Постройте линеаризованный график зависимости периода колебаний от положения магнитов \(x\), который подтверждает предложенную Вами зависимость \(A(x)\). Сделайте вывод о правильности предложенной Вами зависимости \(A(x)\).
Результаты необходимых промежуточных расчетов приведите в свободных столбцах Таблицы 4.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧтобы проверить формулу для периода, постройте график \(1/T^2\) от диаметра цилиндра: по прямой найдите параметр \(a\). Положение грузов учтите через зависимость \(A(x)\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1.1) одна линейка \(T=(3{,}72\pm0{,}01)\) с, две линейки \(T=(4{,}22\pm0{,}04)\) с; 1.4) \(z=T^{-2}=C(d-a)\), \(a=-B/K\); 1.6) \(a_1=(4{,}8\pm2{,}7)\) мм, \(a_2=(3{,}5\pm1{,}4)\) мм, это порядка толщины линейки; 1.7) устойчиво равновесие при \(d>a\); 2.2) \(A(x)=\alpha+\beta x^2\), график \(T^2(x^2)\) линеен.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЧасть 1. Зависимость периода от диаметра.
1.1 Чтобы провести измерения с максимальной точностью и оценить случайную погрешность необходимо провести измерения времен максимального числа периодов колебаний несколько раз. В данном эксперименте провести измерения времен более 3 колебаний практически невозможно из-за сильного затухания. Поэтому проведены измерения 3 колебаний по 5 раз для одной и для сдвоенных линеек. Результаты этих измерений приведены в Таблице 1., в которой также приведены формулы, по которым проведен расчет погрешностей
Таблица 1.
одна линейка две линейки Времена 3 колебаний \(t_i\) 11,18 12,86 11,15 12,69 11,22 12,65 11,13 12,51 11,17 12,55 Среднее время \(\langle t \rangle = \frac{\sum\limits_i t_i}{N}\) 11,170 12,652 Случайная погрешность \(\Delta t_{\text{сл}} = 2\sqrt{\frac{\sum\limits_i (t_i - \langle t \rangle)^2}{n(n-1)}}\) 0,030 0,123 Приборная погрешность \(\Delta t_{\text{пр.}}\) 0,010 0,010 Полная погрешность \(\Delta t = \sqrt{\langle \Delta t_{\text{сл}} \rangle^2 + \langle \Delta t_{\text{пр.}} \rangle^2}\) 0,032 0,123 Период колебаний \(T\) 3,723 4,217 Погрешность измерения периода \(\Delta T\) 0,011 0,041 Окончательные результаты измерения периодов колебаний одна линейка
\[T = (3{,}72 \pm 0{,}01) c \,;\tag{1}\]
две линейки
\[T = (4{,}22 \pm 0{,}04) c \,;\tag{2}\]
1.2 Зависимости периодов колебаний от диаметра цилиндра приведены в Таблице 2 (одна линейка) и Таблице 3 (две линейки).
Таблица 2. Одна линейка
время N колебаний \(T\), с \(\frac{1}{T^2}\) \(d\), мм N \(t_1\), с \(t_2\), с \(t_3\), с 10 3 3,723 0,072 20 3 8,93 8,69 8,91 2,948 0,115 25 5 12,03 12,07 12,08 2,412 0,172 35 5 9,69 9,66 9,75 1,940 0,266 40 5 8,97 8,98 8,86 1,787 0,313 60 5 7,05 6,98 7,01 1,403 0,508 87 10 11,67 11,64 11,68 1,166 0,735 Таблица 3. Две линейки
время N колебаний \(T\), с \(\frac{1}{T^2}\) \(d\), мм N \(t_1\), с \(t_2\), с \(t_3\), с 10 3 4,210 0,056 20 3 8,15 8,33 8,22 2,744 0,133 25 5 11,61 11,74 11,55 2,327 0,185 35 5 9,65 9,64 9,56 1,923 0,270 40 5 9,5 9,04 8,56 1,807 0,306 60 5 7,12 7,08 7,13 1,422 0,495 87 10 11,86 11,88 12,03 1,192 0,703 Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.
1.4 Линеаризация зависимости (1), приведенной в условии задачи достигается очевидным способом: необходимо построить зависимость величины \(z = T^{-2}\) от диаметров цилиндров. Эту зависимость можно представить в виде
\[z = C(d - a).\tag{3}\]
Если определить параметры линейной зависимости \(z = Kd + B\), то искомый параметр \(a\) выражается через коэффициенты линейной зависимости следующим образом:
\[a = -\frac{B}{K},\tag{4}\]
с погрешностью
\[\Delta a = \vert a\vert \sqrt{\left(\frac{\Delta K}{K}\right)^2 + \left(\frac{\Delta B}{B}\right)^2}.\tag{5}\]
В последних столбцах Таблиц 2 и 3 приведены значения величин \(z\).
1.5 Графики линеаризованных зависимостей \(z(d)\) показаны на следующем рисунке.
Так как полученные зависимости линейны, то формула (1) из условия задачи правильно описывает экспериментальные данные.
1.6 Расчет коэффициентов линейной зависимости проведен по МНК, в результате получены следующие значения для одной линейки:
\[K_1 = (9{,}0 \pm 0{,}4) \cdot 10^{-3} \frac{1}{c^2 \cdot \text{мм}}; \quad \Rightarrow \quad B_1 = (4{,}3 \pm 2{,}4) \cdot 10^{-2} \frac{1}{c^2};\tag{6}\]
для двух линеек
\[K_2 = (8{,}5 \pm 0{,}3) \cdot 10^{-3} \frac{1}{c^2 \cdot \text{мм}}; \quad \Rightarrow \quad B_2 = (3{,}0 \pm 1{,}1) \cdot 10^{-2} \frac{1}{c^2}.\tag{7}\]
Расчет параметров \(a\) по формулам (4) – (5) приводит к следующим значениям для одной линейки
\[a_1 = (4{,}8 \pm 2{,}7) \text{мм}\tag{8}\]
для двух линеек
\[a_1 = (3{,}5 \pm 1{,}4) \text{мм}\tag{9}\]
Данный параметр имеет смысл толщины линейки.
1.7 Если положение равновесия является устойчивым, то колебания возможны. Из формулы (1) следует, что колебания могут происходить при
\[d > a\tag{10}\]
Часть 2. Зависимость периода колебаний от положения грузов.
2.1 Результаты измерений зависимости периода колебаний от положения магнитов приведены в Таблице 4.
Таблица 4. Результаты измерений
Время 5 колебаний \(x\), см \(t_1\), с \(t_2\), с \(t_3\), с \(t_4\), с \(t_5\), с период \(T\), с 19 8,38 8,37 8,27 8,14 8,23 1,66 16 7,47 7,37 7,34 7,42 7,28 1,48 13 6,17 6,28 6,22 6,37 6,21 1,25 10 5,08 5,03 5,12 5,2 5,09 1,02 7 4,19 4,28 4,11 4,26 4,28 0,84 График полученной зависимости показан на рисунке.
Простые теоретические рассуждения, основанные на анализе кинетической энергии линейки с грузами, приводят к следующему виду зависимости
\[A(x) = \alpha + \beta x^2.\tag{11}\]
Для проверки этой зависимости следует построить график линеаризованной зависимости \(T^2(x^2)\). График линеаризованной зависимости показан на следующем рисунке.
Линейность данной зависимости подтверждает справедливость формулы (11) для описания полученных экспериментальных данных.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Маятник в воде Ведомственная 2010/11, заключительный этап, 9 кл.
- Часы с маятником на высоте «Бельчонок» 2014/15, заключительный этап, 11 кл.
- Маятник с удвоенной скоростью МОШ 2015/16, отборочный этап, 11 кл.
- Длина нити шарика «Надежда энергетики» 2017/18, отборочный этап, 10 кл.
- Ускорение шарика в крайнем положении «Надежда энергетики» 2017/18, отборочный этап, 11 кл.
- Ведро с вытекающей водой «Надежда энергетики» 2019/20, отборочный этап, 10 кл.