Автобус, велосипедист и грузовик

Автобус, велосипедист и грузовик в каждый момент времени образуют равнобедренный треугольник, основание которого лежит на дороге, по которой едут автобус и велосипедист (см. рис. 1.18).

Направим ось \(X\) вдоль этой дороги в направлении движения автобуса и велосипедиста, а ось \(Y\) — перпендикулярно к ней. Тогда законы движения транспортных средств имеют вид:

Для автобуса: \(x_{\text{А}}(t) = x_{\text{А}}^0 + v_{\text{А}}t\), \(y_{\text{А}}(t) = 0\).

Для велосипедиста: \(x_{\text{В}}(t) = x_{\text{В}}^0 + v_{\text{В}}t\), \(y_{\text{В}}(t) = 0\).

Для грузовика: \(x_{\text{Г}}(t) = \dfrac{x_{\text{А}}^0 + x_{\text{В}}^0}{2} + \dfrac{v_{\text{А}} + v_{\text{В}}}{2}t\), \(y_{\text{Г}}(t) = y_{\text{Г}}^0 + v_{\text{Г}}^yt\).

Здесь верхними индексами «0» снабжены начальные координаты и скорости, буквами А, В, и Г обозначены величины, относящиеся к автобусу, велосипедисту и грузовику соответственно, а \(v_{\text{Г}}^y\) — проекция скорости грузовика на ось \(Y\). Заметим, что выражение для \(x_{\text{Г}}(t)\) получается из тех соображений, что грузовик всё время находится в вершине равнобедренного треугольника, противоположной его основанию. Из этого, в частности, следует, что проекция скорости грузовика на ось \(X\) равна \(\dfrac{v_{\text{А}} + v_{\text{В}}}{2}\). Из условия задачи нам известен модуль скорости грузовика \(v_{\text{Г}}\), которая связана со своими компонентами формулой: \(v_{\text{Г}}^2 = \left(\dfrac{v_{\text{А}} + v_{\text{В}}}{2}\right)^2 + \left(v_{\text{Г}}^y\right)^2\). Отсюда проекция скорости грузовика на ось \(Y\) равна \(v_{\text{Г}}^y = \sqrt{v_{\text{Г}}^2 - \left(\dfrac{v_{\text{А}} + v_{\text{В}}}{2}\right)^2}\).

Теперь мы знаем обе компоненты скорости грузовика, и найти скорость грузовика относительно автобуса не составляет труда. По теореме Пифагора, применённой к треугольнику скоростей, имеем \[v_{\text{отн}}^2 = \left(v_{\text{А}} - \dfrac{v_{\text{А}} + v_{\text{В}}}{2}\right)^2 + \left(v_{\text{Г}}^y\right)^2,\] откуда, с учётом выражения для \(v_{\text{Г}}^y\), находим \[v_{\text{отн}} = \sqrt{v_{\text{Г}}^2 - v_{\text{А}}\cdot v_{\text{В}}} = 25\text{ км/ч}.\]