Брусок на клине

Направим координатную ось \(X\) вдоль плоскости стола в сторону, противоположную направлению движения клина, а ось \(Y\) — вертикально вверх (см. рис. 1.63).

Обозначим через \(N_1\) силу, с которой клин давит на брусок, \(N_2\) — силу, с которой стол давит на клин, \(A\) — ускорение клина, \(a\) — бруска, \(M = 1000\,m\) — массу бруска, \(F_{\text{тр}}\) — силу трения. Тогда с учётом того, что угол при основании клина \(\alpha = 45^\circ\), уравнения движения клина и бруска в проекциях на координатные оси будут иметь вид: \[mA_x = -\dfrac{N_1\sqrt2}{2} + F_{\text{тр}},\qquad N_2 = mg + \dfrac{N_1\sqrt2}{2},\] \[Ma_x = \dfrac{N_1\sqrt2}{2},\qquad May = -Mg + \dfrac{N_1\sqrt2}{2}.\] Далее учтём, что в силу малой величины коэффициента трения между клином и столом \(\mu = 0{,}2\) и большой разницы в массах бруска \(M\) и клина \(m\), последний не сможет оставаться на месте и будет выскальзывать из-под бруска. При этом на клин со стороны стола будет действовать сила трения скольжения \(F_{\text{тр}} = \mu N_2\).

Кроме того, имеется ещё уравнение кинематической связи, которое проще всего получить следующим образом. Пусть во время движения бруска и клина координаты бруска изменились на величины \(\Delta x > 0\) и \(\Delta y < 0\), а координата клина — на \(\Delta X < 0\), причём брусок остался на поверхности клина. Тогда из рисунка видно, что \(\Delta y = (\Delta X - \Delta x)\operatorname{tg}\alpha\), и с учётом того, что в нашем случае \(\operatorname{tg}\alpha = 1\), получаем \[a_y = A_x - a_x.\] Решая полученную систему уравнений, найдём искомую силу давления \(N_1\): \[N_1 = \dfrac{\sqrt2mMg(1 + \mu)}{2m + M(1 - \mu)}.\] Так как \(M = 1000\,m \gg m\), то это выражение можно упростить: \[N_1 = \dfrac{\sqrt2mMg(1 + \mu)}{2m + M(1 - \mu)} = \dfrac{\sqrt2mg(1 + \mu)}{\dfrac{2m}{M} + 1 - \mu} \approx \sqrt2mg\dfrac{1 + \mu}{1 - \mu} \approx 2{,}1mg.\]