Перемотка кассеты

Так как при быстрой перемотке ленты ведущая ось вращается с постоянной угловой скоростью, то радиус принимающей бобины \(\tilde r\) возрастает со временем \(t\) от \(r\) до \(R\) по линейному закону: \(\tilde r = r + \dfrac{t}{T_1}(R - r)\). После перемотки в течение времени \(T_2\) радиус бобины станет равным \(r_1 = r + (T_2/T_1)(R - r)\).

При нормальном прослушивании кассеты лента движется с некоторой постоянной линейной скоростью \(v\). Это означает, что за промежуток времени \(\Delta t\) на бобину наматывается участок ленты длиной \(v\Delta t\), а площадь бобины увеличивается на величину \(\Delta S = hv\Delta t\), где \(h\) — толщина ленты. Таким образом, площадь бобины возрастает с постоянной скоростью \(\dfrac{\Delta S}{\Delta t} = hv\). Значит, зависимость площади бобины от времени прослушивания \(t\) можно записать в виде \(S = \pi r^2 + hvt\).

После перемотки в течение времени \(T_2\) радиус бобины станет равным \(r_1\), а её площадь, соответственно, \(\pi r_1^2\). При нормальном прослушивании кассеты бобина приобрела бы такую площадь через время \(T_3\), которое можно определить из уравнения \(\pi r_1^2 = \pi r^2 + hvT_3\).

С другой стороны, при нормальном прослушивании ленты от начала до конца бобина приобретает площадь \(\pi R^2\) за время \(N\tau\), то есть справедливо уравнение \(\pi R^2 = \pi r^2 + hvN\tau\).

Отсюда, с учётом выражения для \(r_1\), находим: \[T_3 = \dfrac{r_1^2 - r^2}{R^2 - r^2}N\tau = \dfrac{\left(r + \dfrac{T_2}{T_1}(R - r)\right)^2 - r^2}{R^2 - r^2}N\tau =\] \[= \dfrac{\left(10\text{ мм} + \dfrac{110\text{ с}}{165\text{ с}}\cdot(25\text{ мм} - 10\text{ мм})\right)^2 - 10^2\text{ мм}^2}{25^2\text{ мм}^2 - 10^2\text{ мм}^2}\cdot 45\text{ мин} \approx 25{,}7\text{ мин}.\] Таким образом, в результате перемотки мы попадём на песню с номером \(k = \left[\dfrac{T_3}{\tau}\right] + 1 = 26\), то есть примерно на середину двадцать шестой песни.