Ёлочная гирлянда

Понятно, что лампочка (36 В/40 Вт) должна быть подключена к источнику напряжения последовательно с некоторым количеством соединённых в различных комбинациях лампочек (3,5 В/0,28 А) — в противном случае будет невозможно обеспечить подачу на неё напряжения 36 В. По условию задачи падение напряжения на лампе может отличаться от номинального не более чем на 1%, то есть для лампочки, рассчитанной на 36 В, оно может варьироваться в пределах от 35,64 В до 36,36 В, а для лампочки, рассчитанной на 3,5 В — от 3,465 В до 3,535 В. При последовательном подключении лампочки (36 В/40 Вт) и лампочек (3,5 В/0,28 А) на долю последних придётся от 183,64 В до 184,36 В. Поэтому для того, чтобы лампочки (3,5 В/0,28 А) горели нормально, их цепочка должна включать в себя от \(183{,}64/3{,}535 \approx 51{,}95\) ламп до \(184{,}36/3{,}465 \approx 53{,}21\) ламп, то есть реально — 52 или 53 лампы.

Легко видеть, что для нормальной работы схемы недостаточно последовательно подключить к лампе (36 В/40 Вт) одну цепочку из 52 или 53 ламп (3,5 В/0,28 А). Действительно, сила тока через лампу (3,5 В/0,28 А) может составлять от \(0{,}2772\) А до \(0{,}2828\) А, а через лампу (36 В/40 Вт) — от \(1{,}1\) А до \(1{,}122\) А. Поэтому для нормальной работы схемы необходимо последовательно соединить лампу (36 В/40 Вт) с несколькими параллельно включёнными цепями из ламп (3,5 В/0,28 А), причём количество цепей может варьироваться от \(1{,}1/0{,}2828 \approx 3{,}890\) до \(1{,}122/0{,}2772 \approx 4{,}048\), то есть реально количество цепей должно быть равно четырём. Значит, возможны следующие случаи:

1) все четыре цепи состоят из 52 ламп (3,5 В/0,28 А);

2) все четыре цепи состоят из 53 ламп (3,5 В/0,28 А);

3) часть цепей состоит из 52, а часть — из 53 ламп (3,5 В/0,28 А).

Рассмотрим эти случаи по отдельности.

1) Прежде всего вычислим сопротивления \(R\) лампы (36 В/40 Вт) и \(r\) лампы (3,5 В/0,28 А): \[R = \dfrac{(36\text{ В})^2}{40\text{ Вт}} = 32{,}4\text{ Ом},\quad r = \dfrac{3{,}5\text{ В}}{0{,}28\text{ А}} = 12{,}5\text{ Ом}.\] Сопротивление одной цепи из 52 ламп равно \(52r\), четырёх параллельно соединённых одинаковых цепей — \(52r/4\), всей цепи — \(R + (52r/4)\), а напряжение на лампе (36 В/40 Вт) в соответствии с законом Ома составляет \[U_R = \dfrac{220R}{R + (52r/4)} \approx 36{,}57\text{ В},\] то есть отличается от номинального более чем на 1%. Таким образом, случай 1) не удовлетворяет условиям задачи.

2) Аналогично случаю 1), можно показать, что напряжение на лампе (36 В/40 Вт) составляет \[U_R = \dfrac{220R}{R + (53r/4)} \approx 35{,}995\text{ В},\] то есть оно удовлетворяет условию задачи. Напряжение же на каждой из ламп (3,5 В/0,28 А) в этом случае равно \[U_r = \dfrac{220 - U_R}{53} \approx 3{,}472\text{ В},\] что также лежит в пределах 1% от номинала. Таким образом, случай 2) возможен. При таком способе включения (4 параллельные цепи из 53 последовательно соединённых ламп (3,5 В/0,28 А) последовательно соединены с лампой (36 В/40 Вт)) условия задачи выполняются, и количество ламп (3,5 В/0,28 А) составляет 212 штук.

3) Пусть часть цепей состоит из 52, а часть — из 53 ламп (3,5 В/0,28 А). В соответствии с законом Ома, сила тока в участке цепи прямо пропорциональна падению напряжения на этом участке и обратно пропорциональна его сопротивлению. Так как напряжение на всех параллельно включённых цепях одинаково, и они состоят из одинаковых ламп, то отношение сил тока \(I_{52}\) и \(I_{53}\), текущих в цепях из 52 и 53 ламп соответственно, равно обратному отношению числа ламп в этих цепях: \(I_{52}/I_{53} = 53/52\). Ранее было показано, что сила тока, текущего через лампу (3,5 В/0,28 А), может лежать в пределах от \(0{,}2772\) А до \(0{,}2828\) А. Значит, сила тока \(I_{52}\), текущего через цепочку из 52 ламп, может лежать в пределах от \(0{,}2772\cdot(53/52) \approx 0{,}2825\) А до \(0{,}2828\) А, а тока \(I_{53}\), текущего через цепочку из 53 ламп — от \(0{,}2772\) А до \(0{,}2828\cdot(52/53) \approx 0{,}2775\) А. Теперь можно по отдельности рассмотреть три возможных варианта построения цепи.

а) Параллельно соединены 1 цепь из 53 ламп и 3 цепи по 52 лампы. В этом случае ток через лампу (36 В/40 Вт) будет лежать в пределах от \(0{,}2772 + 3\cdot 0{,}2825 \approx 1{,}1247\) А до \(0{,}2775 + 3\cdot 0{,}2828 \approx 1{,}1259\) А. Но ранее было показано, что сила тока через лампу (36 В/40 Вт) должна лежать в пределах от \(1{,}1\) А до \(1{,}122\) А. Поэтому такой вариант соединения не удовлетворяет условиям задачи. б) Параллельно соединены 2 цепи по 52 лампы и 2 цепи по 53 лампы. Сила тока, текущего через лампу (36 В/40 Вт), будет находиться в интервале от \(2\cdot 0{,}2825 + 2\cdot 0{,}2772 \approx 1{,}1194\) А до \(2\cdot 0{,}2828 + 2\cdot 0{,}2775 \approx 1{,}1206\) А, то есть попадает в ранее найденный допустимый интервал. Значит, этот вариант соединения подходит. Для его реализации необходимо использовать 210 ламп (3,5 В/0,28 А).

в) Параллельно соединены 1 цепь из 52 ламп и 3 цепи по 53 лампы. При таком варианте соединения ток через лампу (36 В/40 Вт) будет лежать в пределах от \(0{,}2825 + 3\cdot 0{,}2772 \approx 1{,}1141\) А до \(0{,}2828 + 3\cdot 0{,}2775 \approx 1{,}1153\) А, то есть также лежит в допустимых пределах. Значит, этот способ соединения ламп также подходит, и для его осуществления нужно израсходовать 211 ламп (3,5 В/0,28 А).

В результате проведённого рассмотрения получаем ответ задачи: цепь, удовлетворяющую условию задачи и включающую в себя минимальное количество лампочек на 3,5 В, следует собирать следующим образом (см. рисунок). Нужно параллельно соединить друг с другом четыре цепи, две из которых включают в себя по 52 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А), а две другие — по 53 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А). Затем к этой схеме нужно последовательно подключить лампочку (36 В/40 Вт). При этом в гирлянде будет задействовано 210 лампочек на 3,5 В.