Задачи › Вольт-амперная характеристика, нелинейные элементы

Схемы с туннельным диодом

  1. Схемы с туннельным диодом

    МОШ 2023/24, 9 кл.
    6/10

    Идеализированная вольт-амперная характеристика нелинейного элемента под названием туннельный диод изображена на рисунке, представленном ниже. Условное обозначение туннельного диода на схемах показано в верхней части рисунка. Там же над символом диода указано положительное направление тока через него. Обозначенные на графике токи и напряжения \(I_1\), \(I_2\), \(U_1\) и \(U_2\) будем называть параметрами диода. Обозначенные на графике углы считаем равными.

    Рисунок

    А. (2 балла) Рассмотрим туннельный диод, параметры которого равны \(I_1 = 4I_2 = 4i\), \(U_2 = 4U_1 = 4u\), при этом значения \(i\) и \(u\) считаются известными. Этот диод подключили к идеальному источнику с напряжением \(U_0 = 6u\), последовательно с переменным резистором, сопротивление которого может меняться в широких пределах (см. рисунок, представленный ниже). При каких значениях сопротивления резистора значение тока в цепи определяется однозначно?

    Рисунок

    Б. (5 баллов) Параметры другого туннельного диода равны \(I_1 = 1\text{ мА}\), \(I_2 = 10\text{ мА}\), \(U_1 = 0{,}2\text{ В}\), \(U_2 = 0{,}8\text{ В}\). При помощи этого диода и балластного резистора \(R_0\) собрали цепь по схеме, показанной на рисунке.

    Рисунок

    Известно, что ток через резистор \(R\) в этой цепи имеет одно и то же значение при любом входном напряжении из диапазона \(U = 3{,}2 \pm 0{,}2\text{ В}\).

    Б1) (2 балла) Найдите сопротивление балластного резистора \(R_0\).

    Б2) (3 балла) Чему может быть равно сопротивление нагрузки \(R\)? Укажите границы диапазона возможных значений \(R_{\min}\) и \(R_{\max}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Ток через \(R\) постоянен, если вольт-амперная характеристика параллельного соединения диода и \(R_0\) имеет горизонтальный участок. В пункте А построите нагрузочную прямую \(U = U_0 - IR\) и найдите предельные наклоны, при которых она пересекает характеристику один раз.

    Ответ

    А) \(R > \dfrac{2u}{i}\) или \(R < \dfrac{5u}{4i}\);  Б1) \(R_0 \approx 66{,}7\text{ Ом}\);  Б2) \(201\text{ Ом} \leqslant R \leqslant 215\text{ Ом}\).

    Решение

    А. Обозначим \(V(I)\) зависимость напряжения на туннельном диоде от текущего через него тока. Тогда ток в рассматриваемой цепи определяется уравнением \(U_0 - IR = V(I)\), количество решений которого зависит от величины параметра \(R\). Графический метод решения этого уравнения состоит в определении координат точки (или точек) пересечения вольт-амперной характеристики и прямой \(U = U_0 - IR\). На графике, представленном ниже, пунктирной линией показана прямая, соответствующая такому значению сопротивления, при котором ток цепи определяется неоднозначно (уравнение имеет три решения). Тонкими сплошными линиями чёрного цвета показаны прямые, соответствующие таким значениям сопротивления \(R_1\) и \(R_2\), что уравнение имеет два решения.

    Рисунок

    Легко видеть, что искомые значения сопротивления, при которых ток в цепи определяется однозначно, даются неравенствами \[R < R_1, \qquad R > R_2.\] Теперь остаётся определить значения \(R_1\) и \(R_2\). Значение \(R_1\) определяется из уравнения \[u = 6u - 4i\cdot R_1. \tag{1}\] Аналогичное уравнение можно записать и для определения значения \(R_2\) \[4u = 6u - i\cdot R_2. \tag{2}\] Решая уравнения (12) и (13), получаем ответы: \[R > \frac{2u}{i}, \qquad R < \frac{5u}{4i}.\]

    Б. Параллельное соединение туннельного диода и резистора может обеспечить постоянный ток в этой цепи (в некотором диапазоне напряжений) в том случае, если вольт-амперная характеристика этого параллельного соединения имеет горизонтальный участок, что реализуется при значении сопротивления балластного резистора, равном \[R_0 = \frac{U_2 - U_1}{I_1 - I_2} = \frac{600}{9}\text{ Ом} \approx 66{,}7\text{ Ом}.\] Теперь можем легко вычислить постоянное значение тока через нагрузку \[I_{\text{const}} = I_1 + \frac{U_1}{R_0} = 13\text{ мА}.\] Обозначим минимальное входное напряжение \(U_{\min} = 3{,}0\text{ В}\), тогда значение тока \(I_{\text{const}}\) через нагрузку реализуется при следующих значениях сопротивления нагрузки \[\frac{U_{\min} - U_2}{I_{\text{const}}} \leqslant R \leqslant \frac{U_{\min} - U_1}{I_{\text{const}}}, \tag{3}\] Вычислив значения в формуле (14) и округлив до целого, получим неравенства \[170\text{ Ом} \leqslant R \leqslant 215\text{ Ом}. \tag{4}\] Рассуждая аналогично, можем рассчитать диапазон возможных значений сопротивления нагрузки для максимального входного напряжения \(U_{\max} = 3{,}4\text{ В}\). Получится двойное неравенство \[201\text{ Ом} \leqslant R \leqslant 246\text{ Ом}. \tag{5}\] Пересечение отрезков (15) и (16) даёт ответ на вопрос задачи: \[201\text{ Ом} \leqslant R \leqslant 215\text{ Ом}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх