Поглощение света

Закон поглощения даёт геометрическую прогрессию: график \(\ln(I_n/I_0)\) от числа плёнок должен быть прямой, а его наклон равен \(\ln K\). Фотоприёмник работает линейно лишь при малом сопротивлении резистора.

1.4) \(K_{\text{сер}}=0{,}37\pm0{,}2\) (по таблице 1); 2.2) закон \(I_n=K^nI_0\) выполняется для красного света; 2.3) \(K_{\text{кр}}=0{,}85\), \(K_{\text{зел}}=0{,}45\), \(K_{\text{син}}=0{,}58\) (серая \(0{,}34\)); 2.4) \(K=K_{\text{кр}}^2K_{\text{зел}}\approx0{,}32\); 3.6) пропускание зависит не только от материала плёнки, но и от спектра падающего света.

Что происходит. Идея опыта: свет, прошедший через \(n\) одинаковых плёнок, ослабляется в \(K^n\) раз, значит \(\ln(I_n/I_0)=n\ln K\) — прямая, и \(K\) находится по наклону. Прямая будет прямой, только если приёмник измеряет интенсивность линейно (Часть 1), а свет — монохроматический (Часть 2); для белого света (Часть 3) закон нарушается, потому что у плёнок \(K\) зависит от длины волны. Данные ниже — эталонные результаты организаторов; данных белого света в источнике нет, там даны метод и объяснение (помечено).

Обозначения. \(U_n\) — показание вольтметра при \(n\) плёнках (пропорционально интенсивности в линейном режиме), \(K\) — коэффициент пропускания одной плёнки, \(\ln U_n=\ln U_0+n\ln K\).

Часть 1.

1.1. Серые плёнки, лазер. Измеряем \(U_n\) при \(n=0,\dots,5\) для \(R=20\) кОм, \(R=10\) кОм и \(R\), при котором \(U_0\) немного меньше 200 мВ (выбран диапазон 200 мВ). Фон выключенного лазера вычитается, если он заметен (в источнике фон не указан). Результаты (мВ): \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline U,\ R=20\ \text{кОм} & 427 & 369 & 242 & 82 & 41 & 17\\ U,\ R=10\ \text{кОм} & 407 & 239 & 88 & 23 & 14 & 4\\ U,\ U_0<200\ \text{мВ} & 190 & 63 & 23 & 8 & 4 & \text{---} \end{array}\] Последовательные отношения \(U_{n+1}/U_n\): для \(20\) кОм — \(0{,}86;\ 0{,}66;\ 0{,}34;\ 0{,}50;\ 0{,}42\); для \(10\) кОм — \(0{,}59;\ 0{,}37;\ 0{,}26;\ 0{,}61;\ 0{,}29\); для третьей серии — \(0{,}33;\ 0{,}37;\ 0{,}35;\ 0{,}50\). Если закон верен и приёмник линеен, отношения равны \(K\).

1.2. График \(\ln U\) от \(n\) для трёх сопротивлений.

1.3. Третья серия даёт прямую (остатки случайны, \(\lesssim0{,}15\) при погрешности отсчёта \(\pm1\) мВ в конце ряда, то есть \(25\%\) у \(4\) мВ). Серии при больших \(R\) изогнуты: в начале спад \(\ln U\) замедлен (\(U_1/U_0=0{,}86\) вместо \(\approx0{,}35\) у 20 кОм), потом круче. Причина — нелинейность приёмника: фотодиод при освещении создаёт ток \(I_{\text{ф}}\propto I\), но при напряжении на нём \(U\sim0{,}4\)–\(0{,}5\) В включается его собственный диодный ток, который шунтирует резистор. Ток через резистор: \[\frac{U}{R}=I_{\text{ф}}-I_s\left(e^{U/U_T}-1\right),\qquad U_T\approx40~\text{мВ}.\] Если \(I_{\text{ф}}R\ll0{,}4\) В, вторым членом можно пренебречь и \(U=I_{\text{ф}}R\propto I\) — линейно. Если \(R\) велико, \(U\) упирается в \(\approx0{,}45\)–\(0{,}5\) В (напряжение холостого хода), как бы ни росла интенсивность — режим насыщения.

1.4. Для расчёта берём линейную серию. МНК для \(\ln U=a_0+bn\) даёт \(b=-0{,}979\), \(a_0=5{,}155\), стандартная ошибка наклона \(0{,}043\). Значит \[K_{\text{с}}=e^{b}=0{,}376,\qquad \delta K=K\,\delta b\approx0{,}016 .\] Ответ: \(K_{\text{с}}=0{,}38\pm0{,}02\). Обратите внимание: в источнике записано \(0{,}37\pm0{,}2\); \(\pm0{,}2\) означало бы 50% и несовместимо с разбросом точек (по порядку величины это \(0{,}02\)).

Часть 2.

2.1. Плёнки комплектами по \(n\), лазер, линейный режим (\(U_0\approx130\) мВ). Эталонные данные \(U\), мВ: \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline \text{красные} & 129{,}5 & 109{,}4 & 92{,}4 & 79{,}6 & 67{,}5 & 57{,}7\\ \text{зелёные} & 131{,}1 & 60{,}2 & 27{,}0 & 12{,}3 & 5{,}6 & \\ \text{синие} & 131{,}7 & 76{,}9 & 43{,}7 & 24{,}9 & 14{,}6 & 8{,}5\\ \text{серые} & 131{,}2 & 45{,}4 & 15{,}3 & & & \end{array}\] Графики \(\ln(U_n/U_0)\) от \(n\) — на рисунке; прямые — МНК с нулевым свободным членом (при \(n=0\) значение равно нулю по определению): \(\ln K=\dfrac{\sum n\,y_n}{\sum n^2}\).

2.2. Закон (2) выполняется: точки ложатся на прямые, последовательные отношения \(U_{n+1}/U_n\) постоянны. Например, красные: \(0{,}845;\ 0{,}845;\ 0{,}861;\ 0{,}848;\ 0{,}855\); зелёные: \(0{,}459;\ 0{,}449;\ 0{,}456;\ 0{,}455\) — разброс \(\lesssim2\%\), систематического хода нет. Для красного лазера (монохроматический свет) это и должно быть.

2.3. Наклоны МНК и коэффициенты \(K=e^{b}\): \[\begin{array}{c|c|c|c} \text{плёнка} & b=\ln K & \delta b & K\\ \hline \text{красная} & -0{,}1626 & 0{,}0010 & 0{,}850\pm0{,}001\\ \text{зелёная} & -0{,}7883 & 0{,}0011 & 0{,}455\pm0{,}001\\ \text{синяя} & -0{,}5496 & 0{,}0015 & 0{,}577\pm0{,}001\\ \text{серая} & -1{,}0718 & 0{,}0053 & 0{,}342\pm0{,}002 \end{array}\] Внутренняя погрешность наклона мала; полная погрешность определяется дрейфом лазера и положением плёнки, реально порядка \(1\)–\(2\%\): \(K_{\text{кр}}=0{,}85\), \(K_{\text{зел}}=0{,}45\), \(K_{\text{син}}=0{,}58\), \(K_{\text{с}}=0{,}34\). Серая плёнка по лазеру (три точки, \(U\) вплоть до \(15\) мВ) \(0{,}34\) — в 0,04 от \(0{,}38\) из Части 1: расхождение больше внутренней ошибки, это погрешность малых напряжений и фона.

2.4. Плёнки действуют последовательно, лазерный свет монохроматический, поэтому коэффициенты перемножаются: \(I=K_{\text{кр}}K_{\text{кр}}K_{\text{зел}}I_0\), \[K=K_{\text{кр}}^2K_{\text{зел}}=0{,}85^2\cdot0{,}455\approx0{,}33 .\] Измерение двух красных и одной зелёной плёнок организаторы дают в пределах погрешности: \(0{,}32\) — расхождение \(\approx3\%\).

Часть 3. Данных измерений с белым светом в источнике нет (результат зависит от закупленного источника), поэтому ниже — метод и объяснение; цифры сводной таблицы организаторов даны только для сравнения.

3.1. Метод: те же серии и графики \(\ln(U/U_0)(n)\) для серой, красной, зелёной, синей плёнок при белом светодиоде.

3.2. Доказательство, что закон (2) для зелёной плёнки не выполняется: если \(I_n=K^nI_0\), то последовательные отношения \(r_n=I_{n+1}/I_n=K\) одинаковы для всех \(n\) (с точностью \(\approx2\%\), как мы видели в 2.2), а \(\ln(I_n/I_0)\) линейно по \(n\). Для белого света \(r_n\) растёт с \(n\) закономерно (разность соседних \(r_n\) больше разброса). Причина: белый свет — смесь длин волн с разными \(K(\lambda)\). Первыми гаснут компоненты с малым \(K\), а остаётся свет, который плёнка пропускает лучше всего, поэтому средний \(K\) растёт с \(n\). Иллюстрация на двухполосной модели (условные числа, не данные организаторов): \(40\%\) света в полосе с \(K_1=0{,}45\) и \(60\%\) в полосе с \(K_2=0{,}95\): \(I_n\propto0{,}4\cdot0{,}45^n+0{,}6\cdot0{,}95^n\). \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline \ln(I_n/I_0) & 0 & -0{,}29 & -0{,}47 & -0{,}60 & -0{,}68 & -0{,}75\\ r_n=I_{n+1}/I_n & 0{,}75 & 0{,}83 & 0{,}89 & 0{,}92 & 0{,}93 & 0{,}94 \end{array}\]

3.3–3.4. Эталонные \(K\) (обратите внимание: для белого света цифры зависят от конкретного источника): \[\begin{array}{c|c|c} \text{плёнка} & \text{белый свет} & \text{красный лазер}\\ \hline \text{красная} & 0{,}89 & 0{,}85\\ \text{зелёная} & 0{,}89 & 0{,}45\\ \text{синяя} & 0{,}88 & 0{,}58\\ \text{серая} & 0{,}40 & 0{,}34 \end{array}\] Коэффициенты разные: у цветных плёнок для белого света \(K\approx0{,}9\) вместо \(0{,}45\)–\(0{,}85\) для красного лазера. Основная причина — разный спектр падающего света. Красный свет лазера поглощается зелёной и синей плёнками сильно, а у белого светодиода и кремниевого приёмника значительная доля сигнала приходит из области, где красители почти прозрачны (в первую очередь ближний ИК); измеряемое \(K\) — усреднение по спектру с весом чувствительности. Серая плёнка поглощает почти равномерно, поэтому у неё \(K\) ближе (\(0{,}40\) и \(0{,}34\)).

3.5. Если бы \(K\) не зависел от спектра, теория для двух плёнок: \(K_{\text{кр+син}}=K_{\text{кр}}K_{\text{син}}\). Для лазера это \(0{,}85\cdot0{,}58\approx0{,}49\). Для белого света формула неверна: по спектру \(K_{\text{кр+син}}=\dfrac{\int S\,K_{\text{кр}}(\lambda)K_{\text{син}}(\lambda)\,d\lambda}{\int S\,d\lambda}\), а произведение средних \(\bar K_{\text{кр}}\bar K_{\text{син}}\) даёт другое число. Красная плёнка пропускает красный свет и поглощает синий, синяя — наоборот, то есть пропускания в видимых полосах антикоррелированы: вместе они пропускают только общую область (ближний ИК) — видимая часть почти гасится, и \(K_{\text{кр+син}}\) получается меньше произведения \(\bar K_{\text{кр}}\bar K_{\text{син}}\approx0{,}89\cdot0{,}88\approx0{,}78\). Это прогноз по теории, значение измерения в источнике не приведено.

3.6. Вывод. Коэффициент пропускания — свойство не только плёнки (краситель, толщина: для одной полосы \(K=e^{-\alpha(\lambda)d}\)), но и спектра падающего света и спектральной чувствительности приёмника. Закон \(I_n=K^nI_0\) и правило перемножения \(K\) справедливы только для монохроматического света.

Физический смысл: каждая плёнка отнимает от света одну и ту же долю; такой закон даёт ровно прямую в логарифмах, а любое отклонение от прямой — признак нелинейного приёмника или немонохроматического света.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.