Неидеальный конденсатор

Для малых интервалов времени сопротивление цепи разрядки вычисляйте по приращению \(\ln U\). Реальный конденсатор описывайте эквивалентной схемой с двумя резисторами: последовательным и параллельным.

1.1) \(R_0=2{,}04\) МОм, \(C=56{,}6\) мкФ; 1.2) \(R_V=10{,}0\) МОм; 1.3) \(I=1{,}5\cdot10^{-8}\) А, \(R_{C1}=91\) МОм при \(U_0=1400\) мВ; \(I=3{,}7\cdot10^{-9}\) А, \(R_{C1}=265\) МОм при \(U_0=800\) мВ; 2.4) \(R=-\dfrac1C\dfrac{\Delta t}{\Delta(\ln U)}\), сопротивление растёт по мере разрядки; 3.3) к конденсатору надо подключить один резистор последовательно и один параллельно.

Что происходит. Идеальный конденсатор разряжается через мультиметр экспоненциально: \(\ln U\) линейна по \(t\). Реальный электролитический конденсатор отличается двумя вещами: утечкой тока через плёнку оксида (параллельное сопротивление, сильно зависящее от напряжения) и дополнительным сопротивлением в цепи выводов (последовательное). Мы измеряем эффективное сопротивление цепи разрядки \(R_{\text{эфф}}=-\dfrac{1}{C}\dfrac{\Delta t}{\Delta\ln U}\) на малых интервалах по формуле (4) и смотрим, как оно зависит от напряжения: у идеального конденсатора с мультиметром \(R_{\text{эфф}}=R_V\) при любом \(U\).

Обозначения и данные. Ниже — данные эталонного прогона организаторов (напряжения даны с шагом 100 мВ). Данных Части 3 и некоторых напряжений в источнике нет; там, где результат получен расчётом по модели, это сказано явно. \(R_V\) — входное сопротивление мультиметра, \(R_p\) — параллельное сопротивление утечки конденсатора, \(R_s\) — последовательное сопротивление.

Часть 1.

1.1. Мультиметр в режимах \(R\) и \(C\) (специальные гнёзда): \(R_0=2{,}04\) МОм, \(C=56{,}6\) мкФ. Ёмкость отличается от номинальных \(50\) мкФ почти на 13%, поэтому в расчётах дальше используем измеренное \(C\).

1.2. Схема — на рисунке (а): элемент питания и мультиметр в режиме вольтметра (диапазон 2 В). Сначала меряем напряжение \(\mathcal E\) непосредственно на элементе, затем подключаем последовательно с вольтметром резистор \(R_0\) и снова читаем показание \(U_2\). Ток один и тот же: \(\dfrac{\mathcal E-U_2}{R_0}=\dfrac{U_2}{R_V}\), откуда \[R_V=\frac{R_0\,U_2}{\mathcal E-U_2}.\] Обратите внимание: \(R_0\) должно быть сравнимо с \(R_V\), иначе \(\mathcal E-U_2\) мало и измеряется с большой погрешностью; для \(R_0=2\) МОм и \(R_V\approx10\) МОм показание падает на \(17\%\), что хорошо измеряется. Эталонный результат: \(R_V=10{,}0\) МОм.

1.3. Схема (б): зарядили конденсатор от элемента через выключатель \(K\) до \(U_0\), разомкнули цепь (мультиметр на время отключён — он тоже разряжает конденсатор), через \(\Delta t=5\) мин подключили мультиметр, прочитали \(U_1\). За это время заряд ушёл только через утечку. Средний ток и сопротивление утечки: \[\bar I=\frac{C\,(U_0-U_1)}{\Delta t},\qquad R_{C1}=\frac{(U_0+U_1)/2}{\bar I}.\] Результаты эталонного прогона при \(C=56{,}6\) мкФ, \(\Delta t=300\) с: \[\begin{array}{c|c|c|c|c} U_0,\ \text{В} & U_1,\ \text{В} & \bar I,\ \text{А} & R_{C1},\ \text{МОм}\\ \hline 1{,}40 & 1{,}32 & 1{,}5\cdot10^{-8} & 90\\ 1{,}00 & 0{,}98 & 3{,}8\cdot10^{-9} & 260 \end{array}\] Второй опыт в источнике записан при \(U_0=1{,}00\) В, а не \(0{,}8\) В, как в условии; расчёт выполнен для данных. Погрешность: напряжения записаны с шагом \(0{,}01\) В, значит \(U_0-U_1=0{,}08\pm0{,}01\) В (12%) в первом опыте и \(0{,}02\pm0{,}01\) В (50%) во втором, то есть \(R_{C1}\approx90\pm11\) и \(260\pm130\) МОм. Вывод: сопротивление утечки не постоянно: при меньшем напряжении утечка заметно слабее. Это уже не закон Ома.

Часть 2.

2.1. Конденсатор зарядили до \(1400\) мВ, подключили к мультиметру и записывали по секундомеру с памятью момент, когда показание проходило каждые \(100\) мВ. Данные и расчёт интервалов (\(\Delta\ln U=\ln\dfrac{U_{k-1}}{U_k}\), \(\lambda=\Delta\ln U/\Delta t\), \(R_{\text{эфф}}=\dfrac{1}{C\lambda}\) при \(C=56{,}6\) мкФ): \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} U,\ \text{мВ} & t,\ \text{с} & \Delta t,\ \text{с} & \Delta\ln U & \lambda,\ 10^{-3}\,\text{с}^{-1} & U_{\text{ср}},\ \text{мВ} & R_{\text{эфф}},\ \text{МОм}\\ \hline 1400 & 0 & & & & & \\ 1300 & 38{,}70 & 38{,}70 & 0{,}0741 & 1{,}915 & 1350 & 9{,}23\\ 1200 & 85{,}84 & 47{,}14 & 0{,}0800 & 1{,}698 & 1250 & 10{,}41\\ 1100 & 140{,}13 & 54{,}29 & 0{,}0870 & 1{,}603 & 1150 & 11{,}02\\ 1000 & 201{,}85 & 61{,}72 & 0{,}0953 & 1{,}544 & 1050 & 11{,}44\\ 900 & 272{,}30 & 70{,}45 & 0{,}1054 & 1{,}496 & 950 & 11{,}81\\ 800 & 352{,}40 & 80{,}10 & 0{,}1178 & 1{,}470 & 850 & 12{,}02\\ 700 & 444{,}34 & 91{,}94 & 0{,}1335 & 1{,}452 & 750 & 12{,}16 \end{array}\] Источник даёт точки только до \(700\) мВ; опыт нужно продолжить до \(300\) мВ по условию — продолжение выполняется так же.

2.2. График зависимости (2): точки \(\bigl(t,\ln(U/U_0)\bigr)\) и прямая метода наименьших квадратов \(\ln\dfrac{U}{U_0}=-1{,}547\cdot10^{-3}\,t-0{,}0157\).

2.3. Если закон (1) выполняется, то все точки лежат на одной прямой с разбросом только от погрешностей измерений. Оценим эти погрешности: показание мультиметра — \(\pm1\) мВ, время по секундомеру — \(\pm0{,}3\) с (реакция). Тогда \(\sigma_{\ln U}\approx\dfrac{1}{1400}\approx7\cdot10^{-4}\), а относительная погрешность скорости убывания \(\lambda\) на интервале \(\approx1{,}5\%\). Два независимых критерия.

Критерий 1: постоянство \(\lambda\). При экспоненте \(\lambda=1/(RC)\) одинакова во всех интервалах. Из таблицы \(\lambda\) изменилась с \(1{,}915\) до \(1{,}452\) (на \(24\%\)) и монотонно убывает на всех семи интервалах; разброс в \(10\) раз превышает погрешность \(1{,}5\%\). Закон (1) отвергается.

Критерий 2: остатки регрессии. Отклонения точек от прямой наименьших квадратов (в единицах \(\ln U\)), в порядке возрастания \(t\): \[+0{,}0157;\ +0{,}0014;\ -0{,}0057;\ -0{,}0087;\ -0{,}0086;\ -0{,}0050;\ +0{,}0011;\ +0{,}0098 .\] Среднеквадратичное отклонение \(\approx0{,}0096\) — в \(\approx14\) раз больше \(\sigma_{\ln U}\), а знаки идут серией плюс — минус — плюс: точки лежат дугой (выпуклость), не случайно. Решающий довод — величина остатков: \(\chi^2\approx\dfrac{8\cdot(0{,}0096)^2}{(7\cdot10^{-4})^2}\approx10^3\) при шести степенях свободы (8 точек, 2 параметра), тогда как для верной гипотезы \(\chi^2\approx6\). Закон (1) отвергается на любом разумном уровне значимости.

2.4. На каждом интервале \(R_{\text{эфф}}\) из последнего столбца таблицы. Это не \(R_V\): он равен \(10\) МОм, а \(R_{\text{эфф}}\) меняется от \(9{,}2\) до \(12{,}2\) МОм.

Для идеального конденсатора график — горизонтальная прямая на уровне \(R_V\); здесь график пересекает эту прямую около \(U\approx1{,}3\) В: выше — меньше \(R_V\), ниже — больше, и дальше насыщается около \(12{,}2\) МОм. Объяснение. Выше \(1{,}3\) В разрядке помогает ток утечки через оксидную плёнку: он параллелен мультиметру и уменьшает эффективное сопротивление цепи (\(R_{\text{эфф}}<R_V\)); по Части 1, \(R_{C1}\approx90\) МОм при \(1{,}4\) В и резко растёт при уменьшении напряжения. При уменьшении \(U\) утечка слабеет и перестаёт влиять, а в цепи остаётся то, что делает \(R_{\text{эфф}}\) больше \(R_V\): последовательное с ёмкостью сопротивление \(R_s\) (с ним мультиметр видит лишь часть напряжения конденсатора, и общая постоянная времени равна \((R_V+R_s)C\)). Поэтому «сопротивление конденсатора» \(R_C=R_{\text{эфф}}-R_V\) растёт по мере разрядки и меняет знак.

Часть 3. Данных Части 3 в источнике нет. Ниже — метод и результат, который даёт найденная в Частях 1–2 модель; цифры — прогноз по модели, а не измерения.

3.1. Выполняем все шаги Части 2 с тем же конденсатором, но с резистором \(R_0\) параллельно мультиметру: \(R_{\parallel}=\dfrac{R_0R_V}{R_0+R_V}=1{,}69\) МОм, постоянная времени идеального конденсатора \(R_\parallel C\approx96\) с вместо \(566\) с. Модель (рис. ниже) для интервала с напряжением \(U\): \[\frac{1}{R_{\text{эфф}}}=\frac{1}{R_p(U)}+\frac{1}{R_s+R_\parallel}.\] В Части 2 сопротивление утечки считаем по Части 1: \(R_p(U)\approx90\left(\dfrac{1360}{U}\right)^{3{,}4}\) МОм (степень найдена по двум точкам опыта 1.3, \(90\) МОм при \(1{,}36\) В и \(260\) МОм при \(0{,}99\) В; это грубая интерполяция). Тогда \(R_s\) из данных Части 2: \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} U_{\text{ср}},\ \text{мВ} & 1350 & 1250 & 1150 & 1050 & 950 & 850 & 750\\ \hline R_p,\ \text{МОм} & 92 & 119 & 158 & 215 & 300 & 437 & 665\\ R_s,\ \text{МОм} & 0{,}25 & 1{,}4 & 1{,}85 & 2{,}1 & 2{,}3 & 2{,}4 & 2{,}4 \end{array}\] Ожидание для Части 3: утечка (\(R_p\ge90\) МОм) мала рядом с \(R_\parallel+R_s\approx2\)–\(4\) МОм, так что \(R_{\text{эфф}}\approx R_\parallel+R_s\): от \(1{,}9\) до \(4{,}1\) МОм (при \(U\) от \(1350\) до \(750\) мВ); время прохода интервалов по \(100\) мВ по \(\Delta t=R_{\text{эфф}}C\,\Delta\ln U\): \(8\); \(14\); \(17{,}5\); \(20\); \(24\); \(27\); \(31\) с вместо \(39\)–\(92\) с в Части 2.

3.2. Различия по сравнению с Частью 2: разрядка идёт в несколько раз быстрее; \(R_{\text{эфф}}\) меньше. Главное, что вычисленное превышение \(R_{\text{эфф}}-R_\parallel\) в Части 3 равно \(R_s\approx0{,}3\)–\(2{,}4\) МОм и совпадает с \(R_{\text{эфф}}-R_V\) в Части 2 при низких \(U\) (где утечка не влияет): последовательное сопротивление — свойство самого конденсатора и не зависит от нагрузки. Утечка же заметна только при малой нагрузке (в Части 2); при \(R_0\) она шунтирует цепь слабо, график \(R_{\text{эфф}}(U)\) в Части 3 не пересекает уровень \(R_\parallel\).

3.3. Эквивалентная схема: конденсатор \(C=56{,}6\) мкФ с параллельным сопротивлением утечки \(R_p\) (нелинейным: \(\approx90\) МОм при \(1{,}4\) В, около \(300\) МОм при \(0{,}95\) В), последовательно с ним \(R_s\approx2{,}4\) МОм (для \(U\lesssim1\) В, при больших \(U\) эффект меньше).

Физический смысл: у реального электролитического конденсатора есть и «течь», и «лишнее» сопротивление в цепи; пока напряжение велико, преобладает утечка, потом — последовательное сопротивление.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.