Циклы Отто и Дизеля

Подсказка

Параметры в узловых точках цикла находите из уравнений адиабаты и изопроцессов через степени сжатия и расширения; КПД считайте как \(1-|q_2|/q_1\) с подводом тепла при \(V=\text{const}\) (Отто) или \(p=\text{const}\) (Дизель).

Ответ

0) \(Tp^{(1-k)/k}=\text{const}\), \(TV^{k-1}=\text{const}\); 1.2) \(\eta_{\text{Отто}}=1-\varepsilon^{1-k}\); 2.2) \(\eta_{\text{Дизель}}=1-\frac{\rho^k-1}{k\,\varepsilon^{k-1}(\rho-1)}\); 3) \(\eta_V\approx66{,}0\,\%\), \(\eta_p\approx70{,}2\,\%\) (\(\varepsilon_p=7{,}67\), \(\rho=1{,}53\)).

Решение

0. Уравнение адиабаты С учётом уравнения состояния идеального газа уравнение адиабаты может быть преобразовано к виду

\[T^k \cdot p^{(1-k)} = const \quad \text{Или к виду} \quad T \cdot V^{(k-1)} = const\]

1. Цикл Отто

1.1 Найдем параметры рабочего тела во всех характерных точках цикла. Точка 2

\[V_2 = \frac{V_1}{\varepsilon} \quad p_2 = p_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^k = p_1 \varepsilon^k \quad \frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{k-1} = \varepsilon^{k-1}\]

откуда получаем

\[T_2 = T_1 \varepsilon^{k-1}\]

Точка 3.

\[V_3 = V_2 = \frac{V_1}{\varepsilon} \quad p_3 = p_2 \lambda = p_1 \varepsilon^k \lambda \quad \frac{T_3}{T_2} = \frac{p_3}{p_2} = \lambda\]

откуда получаем

\[T_3 = T_2 \lambda = T_1 \varepsilon^{k-1} \lambda\]

Точка 4.

\[V_4 = V_1 \quad p_4 = p_3 \left( \frac{V_3}{V_4} \right)^k = p_3 \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^k = \frac{p_3}{\varepsilon^k} = p_1 \lambda\]

\[\frac{T_4}{T_3} = \left( \frac{V_3}{V_4} \right)^{k-1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{k-1} = \frac{1}{\varepsilon^{k-1}}\]

откуда получаем

\[T_4 = T_3 \frac{1}{\varepsilon^{k-1}} = T_1 \varepsilon^{k-1} \lambda \frac{1}{\varepsilon^{k-1}} = T_1 \lambda\]

1.2 Количество подведенной и отведенной теплоты определяются по формулам:

\[q_1 = C_V (T_3 - T_2), \quad \vert q_2\vert = C_V (T_4 - T_1)\]

или

\[q_1 = U_3 - U_2 = \frac{3}{2} (p_3 V_3 - p_2 V_2), \quad \vert q_2\vert = U_4 - U_1 = \frac{3}{2} (p_4 V_4 - p_1 V_1)\]

Подставляя эти значения теплот в формулу для термического КПД, получим:

\[\eta _ { t } = 1 - \frac { \vert q _ { 2 } \vert } { q _ { 1 } } = 1 - \frac { c _ { V } ( T _ { 4 } - T _ { 1 } ) } { c _ { V } ( T _ { 3 } - T _ { 2 } ) } = 1 - \frac { T _ { 4 } - T _ { 1 } } { T _ { 3 } - T _ { 2 } } \quad \text { или } \quad \eta _ { t } = 1 - \frac { p _ { 4 } V _ { 4 } - p _ { 1 } V _ { 1 } } { p _ { 3 } V _ { 3 } - p _ { 2 } V _ { 2 } }\]

С учетом найденных значений параметров формула для КПД примет вид

\[\eta _ { t } = 1 - \frac { 1 } { \varepsilon ^ { k - 1 } }\]

2. Цикл Дизеля

2.1 Параметры рабочего тела в характерных точках цикла будут:

Точка 2

\[V _ { 2 } = \frac { V _ { 1 } } { \varepsilon } , \quad p _ { 2 } = p _ { 1 } \left( \frac { V _ { 1 } } { V _ { 2 } } \right) ^ { k } = p _ { 1 } \varepsilon ^ { k } , \quad \frac { T _ { 2 } } { T _ { 1 } } = \left( \frac { V _ { 1 } } { V _ { 2 } } \right) ^ { k - 1 } = \varepsilon ^ { k - 1 }\]

откуда получаем

\[T _ { 2 } = T _ { 1 } \varepsilon ^ { k - 1 }\]

Точка 3

\[V _ { 3 } = \rho V _ { 2 } = \frac { \rho V _ { 1 } } { \varepsilon } , \quad p _ { 3 } = p _ { 2 } = p _ { 1 } \varepsilon ^ { k } , \quad \frac { T _ { 3 } } { T _ { 2 } } = \frac { V _ { 3 } } { V _ { 2 } } = \rho\]

откуда получаем:

\[T _ { 3 } = \rho T _ { 2 } = T _ { 1 } \rho \varepsilon ^ { k - 1 }\]

Точка 4

\[V _ { 4 } = V _ { 1 } , \quad p _ { 4 } = p _ { 3 } \left( \frac { V _ { 3 } } { V _ { 4 } } \right) ^ { k } = p _ { 1 } \varepsilon ^ { k } \left( \frac { \rho V _ { 1 } } { \varepsilon V _ { 1 } } \right) ^ { k } = p _ { 1 } \rho ^ { k } ,\]

\[\frac { T _ { 4 } } { T _ { 3 } } = \left( \frac { V _ { 3 } } { V _ { 4 } } \right) ^ { k - 1 } = \left( \frac { V _ { 3 } } { V _ { 1 } } \right) ^ { k - 1 } \quad \text { Так как } \quad \frac { V _ { 3 } } { V _ { 1 } } = \frac { \rho } { \varepsilon } , \quad \text { то }\]

\[T _ { 4 } = T _ { 3 } \left( \frac { \rho } { \varepsilon } \right) ^ { k - 1 } = T _ { 1 } \rho \varepsilon ^ { k - 1 } \left( \frac { \rho } { \varepsilon } \right) ^ { k - 1 } = T _ { 1 } \rho ^ { k }\]

2.2 Количество подведенной и отведенной теплот определяются по формулам:

\[q _ { 1 } = C _ { p } ( T _ { 3 } - T _ { 2 } ) , \quad \vert q _ { 2 } \vert = C _ { V } ( T _ { 4 } - T _ { 1 } )\]

или

\[q _ { 1 } = U _ { 3 } - U _ { 2 } + A _ { 2 3 } = \frac { 3 } { 2 } ( p _ { 3 } V _ { 3 } - p _ { 2 } V _ { 2 } ) + p _ { 3 } ( V _ { 3 } - V _ { 2 } ) ,\]

\[\vert q _ { 2 } \vert = U _ { 4 } - U _ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } ( p _ { 4 } V _ { 4 } - p _ { 1 } V _ { 1 } )\]

Термический кпд цикла в предположении постоянства теплоемкостей \(C _ { p }\) и \(C _ { V }\) и их отношения

\[k = \frac { C _ { p } } { C _ { V } } \quad \text { будет: } \eta _ { t } = 1 - \frac { \vert q _ { 2 } \vert } { q _ { 1 } } = 1 - \frac { C _ { V } ( T _ { 4 } - T _ { 1 } ) } { C _ { p } ( T _ { 3 } - T _ { 2 } ) } = 1 - \frac { T _ { 4 } - T _ { 1 } } { k ( T _ { 3 } - T _ { 2 } ) } \quad \text { или }\]

Подставляя полученные значения температур в формулу для термического КПД, получим

\[\eta _ { t } = 1 - \frac { \rho ^ { k } - 1 } { k \varepsilon ^ { k - 1 } ( \rho - 1 ) }\]

3. Сравнение циклов Отто и Дизеля

4.1 Определим параметры \(P/P_0\) и \(V/V_0\) для характерных точек обоих циклов.

Цикл Отто

\(\frac{V_{1}}{V_{0}}=30{,}0\) - по условию, \(\frac{P_{1}}{P_{0}}=1{,}00\) – по графику изотермы для \(T_{\min}\), так как в точке 1 температура и давление должны быть минимальны.

Так как степень сжатия для цикла Отто \(\varepsilon_{V}=5{,}00\), то \(\frac{V_{3}}{V_{0}}=\frac{V_{2}}{V_{0}}=6{,}00\). В точке 3 давление должно быть максимальным. В цикле Отто максимальному давлению соответствует максимальная температура. По графику изотермы для \(T_{\max}\) находим \(\frac{P_{3}}{P_{0}}=30{,}0\)

Используя уравнение адиабаты, найдём \(\frac{P_{2}}{P_{0}}\) и \(\frac{P_{4}}{P_{0}}\).

\[\frac{P_{2}}{P_{0}}\left(\frac{V_{2}}{V_{0}}\right)^{k}=\frac{P_{1}}{P_{0}}\left(\frac{V_{1}}{V_{0}}\right)^{k}, \quad \frac{P_{2}}{P_{0}}=\frac{P_{1}}{P_{0}} \varepsilon^{k}=1{,}00 \cdot 5{,}00^{1{,}67}=14{,}7\]

\[\frac{P_{4}}{P_{0}}\left(\frac{V_{4}}{V_{0}}\right)^{k}=\frac{P_{3}}{P_{0}}\left(\frac{V_{3}}{V_{0}}\right)^{k}, \quad \frac{P_{4}}{P_{0}}=\frac{P_{3}}{P_{0}} \frac{1}{\varepsilon^{k}}=\frac{30{,}0}{5{,}00^{1{,}67}}=2{,}04\]

\[\frac{V_{4}}{V_{0}}=\frac{V_{1}}{V_{0}}=30{,}0\]

Наносим точки с найденными параметрами на диаграмму и соединяем в цикл Отто. Точку 2 данного цикла обозначим \(2_{V}\). Целесообразно просчитать по несколько промежуточных точек на адиабатах 1-2 и 3-4 для более точного изображения этих процессов.

Цикл Дизеля.

Исходя из условия, следует, что параметры точек 1, 3 и 4 циклов Отто и Дизеля будут совпадать. Для цикла Дизеля \(\frac{P_{2}}{P_{0}}=\frac{P_{3}}{P_{0}}=30{,}0\). Параметры объёма в точке 2 цикла Дизеля определим, используя уравнение адиабаты. Адиабата 1 – 2 цикла Отто должна лежать на адиабате 1 – 2 цикла Дизеля.

\[\frac{P_{2}}{P_{0}}\left(\frac{V_{2}}{V_{0}}\right)^{k}=\frac{P_{1}}{P_{0}}\left(\frac{V_{1}}{V_{0}}\right)^{k} \quad \frac{V_{2}}{V_{0}}=\frac{V_{1}}{V_{0}}\left(\frac{P_{1}}{P_{0}} \frac{P_{0}}{P_{2}}\right)^{\frac{1}{k}}=30{,}0 \cdot\left(\frac{1}{30{,}0}\right)^{\frac{1}{1{,}67}}=3{,}91\]

Наносим точку 2 цикла Дизеля на диаграмму и достраиваем данный цикл. Точку 2 цикла Дизеля обозначим \(2_{p}\).

4.2 Термический КПД цикла Отто: \(\eta_{tV}=1-\frac{1}{\varepsilon^{k-1}}=1-\frac{1}{5{,}00^{1{,}67-1}}=66{,}0\%\)

Для расчёта термического КПД цикла Дизеля необходимо определить степень сжатия \(\varepsilon_{\text{р}}\) и

степень предварительного расширения \(\rho\).

\[\varepsilon_{p}=\frac{V_{1}}{V_{0}} \cdot \frac{V_{0}}{V_{2p}}=\frac{30{,}0}{3{,}91}=7{,}67\]

\[\rho=\frac{V_{3}}{V_{2p}}=\frac{6{,}00}{3{,}91}=1{,}53\]

\[\eta _ { t p } = 1 - \frac { \rho ^ { k } - 1 } { k \varepsilon ^ { k - 1 } ( \rho - 1 ) } = 1 - \frac { 1 { , } 5 3 ^ { 1 { , } 6 7 } - 1 } { 1 { , } 6 7 \cdot 7 { , } 6 7 ^ { 1 { , } 6 7 - 1 } \cdot ( 1 { , } 5 3 - 1 ) } = 7 0 { , } 2\,\%\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.