Бесплотинная ГЭС

Поток энергии в реке складывается из переноса кинетической и потенциальной энергии воды и работы сил давления. Как связаны скорости и глубины выше и ниже станции? По какому параметру нужно искать максимум?

Теоретическая мощность электростанции (в пренебрежении потерь на трение в жидкости, в трансмиссии и не 100%-ом КПД генератора) равна разности потоков энергии в реке выше и ниже по течению. Поток энергии в реке складывается из двух частей. Первая представляет собой просто перенос кинетической и потенциальной энергии воды потоком и равна \(\left(\dfrac{\rho v^2}{2} + \rho g\dfrac{h}{2}\right) v(hL)\). Вторая представляет собой работу сил давления воды в единицу времени \(\dfrac{\rho g h}{2}\, v(hL)\). Итого получаем \(\left(\dfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h\right) v(hL)\). Временно обозначая величины выше по течению индексом 1, а ниже по течению — индексом 2, запишем теоретическую мощность \[W = \left(\frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h_1\right) v_1 (h_1 L) - \left(\frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_2\right) v_2 (h_2 L).\] При этом, в силу несжимаемости воды, должно выполняться условие равенства потоков выше и ниже по течению \[\rho v_1 (h_1 L) = \rho v_2 (h_2 L).\] Таким образом, из двух характеристик потока ниже по течению, \(v_2\) и \(h_2\), только одна является независимой. Выражая, например, \(v_2\) через \(h_2\), получаем мощность \[W = \rho g h_1^2 v_1 L\left(1 + \frac{F_1}{2} - \left(\frac{F_1}{2}\,\frac{h_1^2}{h_2^2} + \frac{h_2}{h_1}\right)\right),\] где введено безразмерное отношение \(F_1 = \dfrac{v_1^2}{g h_1}\) — число Фруда, равное отношению кинетической и потенциальной энергий воды в верхнем течении. Мощность, как нетрудно убедиться, имеет максимум при \(h_2 = h_1 F_1^{1/3}\) (при этом число Фруда в нижнем течении \(F_2 = \dfrac{v_2^2}{g h_2} = 1\)). Таким образом, \[W_\text{max} = \rho g h_1^2 v_1 L\left(1 + \frac{F_1}{2} - \frac{3}{2}F_1^{1/3}\right), \quad \text{где } F_1 = \frac{v_1^2}{g h_1}.\]