Брусок под доской и течение газа

1.1: сила трения складывается из сил на двух поверхностях бруска, а нормальная сила от доски находится из моментов. 1.2: сопротивление трубы \(\propto 1/r^4\), при последовательном соединении складываются сопротивления; сила на поршне линейно убывает по мере выталкивания.

1.1) \(F=\mu\left(Mg\dfrac{l}{x}+mg\right)\), \(A\approx1{,}5\mu Mgl+\mu mgl\) (точнее, \(\mu Mgl\ln4+\mu mgl\)); 1.2.1) \(q_1=16q_0\), для составной трубки \(q=\dfrac{16}{17}q_0\); 1.2.2) \(A=4\pi^3\eta v\,l^2\) (см. комментарий в решении).

Задача 1.1

Понятно, что для того чтобы вытянуть брусок, к нему следует прикладывать горизонтальную силу немного превышающую сумму сил трения, действующих на брусок

\[F = \mu(N_1 + N_0).\tag{1}\]

Все обозначения стандартные, вертикальные силы показаны на рисунке. Из условия равновесия доски следует уравнение моментов

\[N_1 x = Mg \frac{l}{2} \quad \Rightarrow \quad N_1 = \frac{Mg}{2} \frac{l}{x}\tag{2}\]

Так как брусок в вертикальном направлении не движется, то справедливо выражение

\[N_0 = mg + N_1\tag{3}\]

Таким образом, необходимая минимальная горизонтальная сила должна быть равна

\[F = \mu(N_1 + N_0) = \mu \left( Mg \frac{l}{x} + mg \right).\tag{4}\]

График этой функции показа на рисунке

Работа численно равна площади под графиком данной функции. Строгое вычисление этой площади сводится к интегралу и оказывается равным:

\[A = \mu Mgl \ln 4 + \mu mgl.\tag{5}\]

Здесь \(\ln 4 \approx 1{,}4\) Однако вычисление интегралов выходит за рамки школьной программы. Поэтому для оценки эту площадь можно подсчитать численно. Такой расчет по 4 точкам (с шагом \(0{,}25\)) дает выражение

\[A = 1{,}5 \mu Mgl + \mu mgl.\tag{6}\]

Задача 1.2

1.2.1 С помощью формулы Пуазейля находим

\[q_{1}=\frac{(2 r)^{4} \Delta P}{8 \pi \eta l}=16 \frac{r^{4} \Delta P}{8 \pi \eta l}=16 q_{0} .\tag{1}\]

При соединении двух трубок необходимо учесть, что давления на концах трубок перераспределяться так, чтобы расходы газов через них были одинаковы. Обозначим разности давлений концах трубок \(\Delta P_{0}, \Delta P_{1}\). Для расходов газов из уравнения Пуазейля можно записать

\[\begin{aligned} & q=g \Delta P_{0} \\ & q=16 g \Delta P_{1} . \\ & q_{0}=g \Delta P \end{aligned}\tag{2}\]

Где \(g\) - некоторая постоянная величина, \(q\) - искомый расход через составную трубку. Кроме того

\[\Delta P_{0}+\Delta P_{1}=\Delta P .\tag{3}\]

Из этих уравнений находим

\[\frac{q}{g}+\frac{q}{16 g}=\Delta P \quad \Rightarrow \quad q=\frac{16}{17} g \Delta P=\frac{16}{17} q_{0}\tag{4}\]

1.2.2 Так как труба тонкостенная и хорошо проводит тепло, а скорость движения поршня мала, то процесс можно считать изотермическим и равновесным. Т.е. при любом положении поршня распределение давления газа соответствует равновесному движению газа. В этом случае формула Пуазейля применима при любом положении поршня. Обозначим расстояние от конца трубы до поршня \(x\), а избыточное (над атмосферным) давление вблизи поршня \(p\).

Расход газа при движении поршня со скоростью \(v\) равен

\[q=v S .\tag{5}\]

Где \(S\) - площадь поперечного сечения трубы Из формулы Пуазейля можно найти, какое избыточное давление может обеспечить такой расход и какую силу следует прикладывать к поршню:

\[q=v S=\frac{r^{4} p}{8 \pi \eta(l-x)} \quad \Rightarrow \quad p=\frac{8 \pi \eta S v}{r^{4}}(l-x) \quad \Rightarrow \quad F=p S=\frac{8 \pi \eta S^{2} v}{r^{4}}(l-x)=\frac{8 \pi^{3} \eta v}{r^{4}}(l-x)\]

Так как сила изменяется по линейному закону от максимального до нулевого значения, то при вычислении работы можно взять ее среднее значение \(\langle F\rangle=\frac{1}{2} F_{\max }\). Тогда работа по выталкиванию воздуха из трубы будет равна

\[A=\langle F\rangle l=\frac{4 \pi^{3} \eta v}{r^{4}} l^{2} .\tag{6}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.