Леска и груз на наклонной плоскости

Жёсткость участка лески растёт с площадью сечения и падает с длиной; при одинаковой массе площадь обратна длине. Для второй части удобно записать условия равновесия в проекциях и подставить предельные значения силы трения покоя.

Вопрос. Сила натяжения в разных сечениях лески практически одинакова. Массы участков одинаковы, а длины отличаются в три раза, значит и площади сечений отличаются в три раза (у более короткого участка сечение больше). Жёсткость участка прямо пропорциональна площади сечения и обратно пропорциональна длине, поэтому жёсткость более короткого участка в \(9\) раз больше. Растяжение короткого участка в \(9\) раз меньше растяжения длинного, а в сумме они дают \(1\) мм: короткий участок растянут на \(0{,}1\) мм, длинный — на \(0{,}9\) мм.

Задача. Пусть \(\beta\) — угол между нитями в положении равновесия. Из геометрии \(\beta = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\alpha}{2} = 30^\circ\). Условия равновесия груза в проекциях на оси \(x\) и \(y\) (ось \(x\) вдоль наклонной плоскости): \[T_1 + T_2\cos\beta = mg\sin\alpha + F_{тр}, \qquad N = mg\cos\alpha - T_2\sin\beta.\] Неизвестных сил больше, чем уравнений, поэтому силы в общем случае не определяются однозначно; нужное соотношение дают деформации. Растяжение первой нити равно \(\Delta l_1\), длина второй нити в недеформированном состоянии \(2l\cos\beta\), и из теоремы косинусов в первом порядке по деформациям \(\Delta l_2 = \Delta l_1\cos\beta\). Коэффициенты жёсткости обратно пропорциональны длинам в недеформированном состоянии, \(k_2/k_1 = 1/(2\cos\beta)\), поэтому \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{k_2\,\Delta l_2}{k_1\,\Delta l_1} = \frac{1}{2}.\] Сила трения покоя ограничена: \(|F_{тр}| \le \mu N\). Это даёт \[T_1\,[2+\cos\beta] = 2mg\sin\alpha \pm 2\mu mg\cos\alpha \mp \mu T_1\sin\beta,\] откуда крайние значения натяжения нижнего отрезка \[T_1^{max} = \frac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{2+\cos\beta+\mu\sin\beta}\,2mg = \frac{5+2\sqrt3}{22+5\sqrt3}\,2mg, \qquad T_1^{min} = \frac{\sin\alpha-\mu\cos\alpha}{2+\cos\beta-\mu\sin\beta}\,2mg = \frac{5-2\sqrt3}{18+5\sqrt3}\,2mg,\] и их отношение \(\dfrac{T_1^{max}}{T_1^{min}} \approx 4{,}79\).

Максимум натяжения достигается, когда сила трения направлена по оси \(x\) (вниз по наклону) и имеет максимальную для покоя величину. Для этого груз сдвигают вниз, прикладывая силу вдоль оси \(x\) и растягивая отрезки лески настолько, чтобы при отпускании груз начал скользить вверх под действием натяжения нитей. Затем прикладываемую силу плавно уменьшают, так что груз очень медленно поднимается до положения, в котором сила трения становится силой трения покоя максимальной величины и удерживает груз в равновесии.

Примечание жюри: если считать, что нить единая и скользит через блок, ось которого закреплена на грузе (то есть \(T_2 \equiv T_1\)), то получается отношение \(\approx 4{,}44\). Жюри такое толкование считает противоречащим условию: задача при нём упрощается, а исследование деформаций отрезков не требуется.