Поршень с гирькой в сосуде

Поршень ведёт себя как груз на пружине: при малых смещениях сила, действующая на него со стороны газа, линейна по смещению. Что произойдёт с поршнем после снятия дополнительной нагрузки, если он возвращается в положение равновесия?

Вопрос. Внутренняя энергия идеального газа \(U = \dfrac{i}{2}\,pV\), где \(i\) — число классических степеней свободы молекулы: \(3\) для одноатомных, \(5\) для двухатомных и \(6\) для многоатомных молекул. В адиабатическом процессе \(\delta Q = 0\): \[\delta Q = p\,\Delta V + \Delta\!\left(\frac{i}{2}pV\right) = \frac{i+2}{2}\,p\,\Delta V + \frac{i}{2}\,V\,\Delta p = 0.\] Введя \(\gamma = \dfrac{i+2}{i}\), получаем \(p\gamma V^{\gamma-1}\Delta V + V^\gamma\Delta p = \Delta(pV^\gamma) = 0\), то есть \(pV^\gamma = \text{const}\). Значения показателя адиабаты: \(\dfrac{5}{3}\), \(\dfrac{7}{5}\) и \(\dfrac{4}{3}\).

Задача. Пусть \(S\) — сечение цилиндра, \(M\) — масса поршня, \(m\) — масса гирьки, \(p_A\) — атмосферное давление. Начальное давление газа \(p_0 = p_A + \dfrac{Mg}{S}\). Обозначим \(h_1 = x h_0\). При опускании поршня без теплообмена работа внешних сил идёт на внутреннюю энергию газа: \[\frac{5}{2}p_0Sh_0 + \left[(M+m)g + p_AS\right]h_0(1-x) = \frac{5}{2}p_1Sh_0\,x.\] Введём \(\delta \equiv \dfrac{mg}{p_0S}\); тогда \(x\,\dfrac{p_1}{p_0} = 1 + \dfrac{2}{5}(1+\delta)(1-x)\). С учётом адиабаты для двухатомного газа \(p_1 = p_0x^{-7/5}\): \[x^{-2/5} - 1 = \frac{2}{5}(1+\delta)(1-x).\] Так как \(1-x = \dfrac{1}{30} \ll 1\), по математической подсказке с ошибкой порядка \((1/30)^3\) получаем \(\delta \approx \dfrac{7}{10}(1-x) = \dfrac{7}{300}\).

При подъёме поршня от \(h_1 = xh_0\) до \(h_2 = zh_0\) аналогично \[\frac{5}{2}p_1Sh_0x - \left[Mg + p_AS\right]h_0(z-x) = \frac{5}{2}p_0Sh_0\,z^{-2/5} \ \Rightarrow\ \left[1+(z-1)\right]^{-2/5} + \frac{2}{5}(z-1) = 1 + \frac{2}{5}\delta(1-x).\] Отличие \(z\) от единицы мало: \(\varepsilon \equiv z-1 \ll 1\), и \[\frac{7}{25}\,\varepsilon^2 \approx \frac{2}{5}\,\delta(1-x) \ \Rightarrow\ \varepsilon \approx \sqrt{\frac{10}{7}\,\delta(1-x)} \approx 1-x = \frac{1}{30}.\] Таким образом, \(h_2 \approx 2h_0 - h_1 = 31\) см.

Возможный вариант решения: разложение давления по высоте даёт линейную зависимость силы от координаты поршня, поэтому его движение почти гармоническое (газ действует как пружина). После снятия дополнительной нагрузки поршень возвращается в положение равновесия, набирает скорость и проходит «за» него на такое же расстояние до остановки. Поэтому \(h_2 \approx 2h_0 - h_1 = 31\) см.