Бусинка и заряженное кольцо

Пока сила притяжения кольца меньше веса бусинки, она остаётся на месте. Для второй части используйте закон сохранения энергии: потенциальная энергия бусинки в поле кольца зависит от её координаты вдоль оси.

Вопрос. Взаимодействие зарядов по закону Кулона без учёта запаздывания потенциально, так как работу сил можно вычислять через изменение потенциальной энергии. Этот подход перестаёт быть корректным за рамками электростатики: при учёте взаимосвязи электрического и магнитного полей, излучения ускоренными зарядами и конечности скорости распространения взаимодействий. Потенциальность допустима, если все заряды, создающие поля, покоятся достаточно долго, а электромагнитными полями движущихся зарядов можно пренебречь.

Задача. Поскольку кольцо опускают «очень медленно», на бусинку действует электрическая сила со стороны практически покоящегося кольца (квазистационарное приближение).

1) Пусть кольцо находится на высоте \(h\) над поверхностью. Сила притяжения со стороны кольца, действующая на бусинку, лежащую на поверхности, равна \[F_Q = \frac{q|Q|\,h}{4\pi\varepsilon_0\,(h^2+a^2)^{3/2}}.\] Бусинка отрывается от поверхности, когда \(F_Q = mg\). Введём \(h = a\,\mathrm{tg}\,\varphi\); уравнение приводится к виду \[\frac{4\pi\varepsilon_0\,mga^2}{q|Q|} = \sin\varphi\,(1-\sin^2\varphi).\] Правая часть максимальна при \(\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt3}\) и равна \(\dfrac{2}{3\sqrt3}\). Значит, отрыв невозможен при любом \(h\), если \[\frac{4\pi\varepsilon_0\,mga^2}{q|Q|} \ge \frac{2}{3\sqrt3} \ \Rightarrow\ |Q| \le \sqrt3\,\frac{6\pi\varepsilon_0\,mga^2}{q}.\] При таком заряде бусинка не сдвинется вплоть до касания кольца и поверхности.

2) Отрыв происходит при \(h = a\), если \(\dfrac{q|Q|}{8\pi\varepsilon_0 a^2} = mg\sqrt2\). Поле кольца считаем потенциальным, с потенциальной энергией бусинки как функцией координаты \(x\), отсчитываемой вверх от плоскости кольца (с учётом поля тяжести): \[U(x) = mg(a+x) - \frac{q|Q|}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2+x^2}} = mg\left[a + x - 2\sqrt2\,\frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}\right].\] В точке максимального подъёма \(x = H-a\) энергия равна значению в точке старта \(x=-a\): \[-2a = H - 2\sqrt2\,\frac{a^2}{\sqrt{a^2+(H-a)^2}}.\] Обозначив \(z = \dfrac{H}{2a}\) и возведя в квадрат, получаем \(z^2 + z - \dfrac12 = 0\), с положительным корнем \(z = \dfrac{\sqrt3-1}{2}\). Итак, \(H = (\sqrt3-1)\,a \approx 17{,}57\) см.