Бросок с наклонной плоскости

Удобно направить оси вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей: по перпендикуляру движение равноускоренное. Высота полёта над плоскостью максимальна в момент, когда перпендикулярная составляющая скорости обращается в ноль.

Выберем оси координат следующим образом. Ось \(Ox\) направим вниз вдоль наклонной плоскости. Ось \(Oy\) направим вверх, перпендикулярно оси \(Ox\) и, следовательно, перпендикулярно поверхности наклонной плоскости. См. рис.

После этого записываем, как изменяются со временем координаты тела \(x(t)\), \(y(t)\) и проекции скоростей тела на оси \(Ox\) и \(Oy\): \(v_x(t)\), \(v_y(t)\): \[x(t) = v_o\cos(\alpha+\beta)\, t + \dfrac{g\sin\alpha\, t^2}{2} ,\] \[y(t) = v_o\sin(\alpha+\beta)\, t - \dfrac{g\cos\alpha\, t^2}{2} ,\] \[v_x(t) = v_o\cos(\alpha+\beta) + g\sin\alpha\, t , \qquad v_y(t) = v_o\sin(\alpha+\beta) - g\cos\alpha\, t .\] Приравнивая нулю выражение (4), найдём время \(\tau_{\text{под}}\) подъёма тела на максимальное относительно наклонной плоскости расстояние: \[\tau_{\text{под}} = \dfrac{v_0 \sin(\alpha+\beta)}{g \cos\alpha} .\] Подставляя его в (2), получим наибольшее расстояние \(h\) между телом и плоскостью в процессе полёта тела: \[h = y(\tau_{\text{под}}) = \dfrac{v_0^2 \sin^2(\alpha+\beta)}{2g\cos\alpha} .\] Из последнего выражения следует, что высота подъёма тела над наклонной плоскостью (как функция угла \(\beta\)) будет максимальна (\(h_{\text{макс.}}\)), если \((\alpha+\beta)=\pi/2\). Следовательно, если \(\beta^* = \pi/2-\alpha\), \[h_{\text{макс.}} = \dfrac{v_0^2}{2g\cos\alpha} .\]