Схема-колесо — это схема, которую можно нарисовать в виде правильного \(n\)-угольника так, что «обод колеса» образован \(n\) резисторами сопротивления \(R\), соединяющими соседние вершины \(n\)-угольника, а «спицы колеса» образованы \(n\) резисторами сопротивления \(r\), соединяющими центр «колеса» с каждой из вершин. Пусть \(R_1\) — сопротивление между двумя соседними вершинами такого «колеса», а \(R_2\) — сопротивление между одной из вершин и центром. Выразите \(R_1\) через \(R_2\), \(R\) и \(r\) (не используя \(n\)).
▶Подсказка и ответСкрыть
Подсказка. Заметим, что колёсный граф самодвойствен, так что всё, что нам нужно сделать, — воспользоваться идеей 17. Точнее, предположим, что в случае одной из спиц последовательно с резистором \(r\) дополнительно подключена батарея. В двойственной схеме спицы становятся сегментами обода (с «сопротивлением» \(1/r\)) и наоборот. Итак, схема почти самодвойственна (с отношением сопротивления к «сопротивлению», равным \(Rr\)), только «батарея» теперь на сегменте обода (а не на спице, как исходная батарея). Есть также альтернативное решение, использующее результат обобщённой задачи 55.
Ответ. \(R\bigl(1-\frac{R_2}r\bigr)\).