\(m\) одинаковых резисторов сопротивления \(R\) соединены произвольным образом; при этом ни один из резисторов не закорочен (нет прямого проводного соединения между двумя выводами резистора), и все резисторы соединены вместе (сопротивление между любой парой узлов конечно). Всего эта резисторная сеть имеет \(n\) узлов. Для каждого резистора определяется сопротивление между смежными узлами (к которым он подключён), и результаты складываются. Покажите, что эта сумма \(m\) сопротивлений всегда равна \((n-1)R\)22.
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка. Во-первых, нам нужно выписать выражение для сопротивления между \(i\)-м и \(j\)-м узлами, если между ними есть прямое соединение, и это легко сделать: \(R_{ij} = (\varphi_i^{(ij)}-\varphi_j^{(ij)})/I\), где \(\varphi_k^{(ij)}\) обозначает потенциал \(k\)-го узла, когда ток \(I\) вводится в \(i\)-й узел и выводится из \(j\)-го узла. Наш план — сложить все уравнения, и потому мы не хотим иметь в нашем выражении условий «если», потому что трудно ожидать, что такие выражения сократятся при взятии суммы. Решение здесь — умножить это выражение на проводимость \(\sigma_{ij}\) прямого соединения между двумя узлами: если прямое соединение есть, \(\sigma_{ij} = 1/R\), и результатом будет \(R_{ij}/R\). Если прямого соединения нет, результат будет нулевым, и потому вклада в сумму не будет. Вторая проблема в том, что если мы продолжим использовать потенциалы \(\varphi_k^{(ij)}\), при взятии суммы ничего не сократится: для каждого сопротивления \(R_{ij}\) мы вводим новое распределение потенциалов (как указано верхними индексами). Нам явно нужно уменьшить число распределений потенциала. К счастью, это можно сделать с помощью принципа суперпозиции (аналогично идее 22): введём опорный узел, пусть он имеет индекс \(i = 1\); рассмотрим \(n-1\) распределений потенциала \(\varphi_j^{(k)}\) (\(2\le k\le n\)), когда ток \(I\) вводится в \(i\)-й узел и выводится из 1-го узла. Тогда \(\varphi_k^{(ij)} = \varphi_k^{(i)}-\varphi_k^{(j)}\). Остаётся взять сумму \(\sum_{i,j}R_{ij}\); заметим, что порядок суммирования можно выбирать по необходимости, либо \(\sum_i\sum_jR_{ij}\), либо \(\sum_j\sum_iR_{ij}\); не забудьте, что при такой сумме каждая пара узлов считается дважды.