[IPhO-1987] Когда синусоидальные волны распространяются в бесконечной \(LC\)-цепочке (см. рисунок ниже), фазы переменного напряжения на двух соседних конденсаторах отличаются на \(\varphi\).
▶Подсказка и ответСкрыть
Подсказка. (а) Примените идею 44 вместе либо с методом контурных токов, либо с методом потенциалов узлов; помните, что каждый следующий узел имеет потенциалы и токи, сдвинутые по фазе на \(\varphi\), например \(\phi_{j+1} = \phi_je^{i\varphi}\), где \(\phi_j\) — потенциал \(j\)-го узла (мы считаем, что нижний провод имеет нулевой потенциал); как только вы исключите потенциалы (или токи) из вашей системы уравнений, вы должны получить уравнение, связывающее \(\omega\) с \(\varphi\).
(б) Помните, что фазовая скорость волны равна \(v_p = \omega/k\), а сдвиг фазы связан с волновым вектором равенством \(\varphi = kl\).
(в) Изучите низкочастотный предел вашего результата для части (б).
(г) Воспользуйтесь идеей 51 для сравнения двух систем: бесконечной цепочки пружин и масс и данной схемы; теперь удобнее работать с контурными токами и выписывать дифференциальные уравнения для зарядов, прошедших через катушки. Это потому, что для механической системы вторая производная каждой координаты входит только в одно из дифференциальных уравнений (второй закон Ньютона); между тем при использовании метода потенциалов узлов и зарядов конденсаторов токи катушек (слагаемые, порождающие вторые производные) выражаются из закона токов Кирхгофа и включали бы заряды всех конденсаторов.
Ответ. \(\varphi = 2\arcsin\bigl(\frac12\omega\sqrt{LC}\bigr)\); \(\omega l/\varphi\); \(\varphi\ll1\), когда \(v_0 = l/\sqrt{LC}\); бесконечная цепочка масс, соединённых пружинами.