Условие
Циклоида — кривая, которую можно определить как траекторию точки, отмеченной на ободе катящегося колеса радиуса \(R\). Определите радиус кривизны такой кривой в её самой высокой точке.
▶РешениеСкрыть
\
Поскольку колесо катится, имеем \(\omega = \frac vR\). Скорость самой верхней точки в лабораторной системе равна \(v+\omega R = 2v\). Поэтому центростремительное ускорение в самой верхней точке равно \[a_c = \frac{(2v)^2}r.\] Скорость самой верхней точки в системе центра колеса равна \(\omega R = v\). Поэтому центростремительное ускорение в системе центра колеса равно \[a_c = \omega^2R = \frac{v^2}R.\] Поскольку обе системы инерциальны, \[\frac{v^2}R = \frac{4v^2}r\ \Longrightarrow\ \boxed{r = 4R}.\]