Один конец стержня длины \(l\) опирается на пол, а другой прислонён к вертикальной стене. Чему равны скорость \(u\) и ускорение \(a\) нижнего конца в тот момент, когда верхний конец скользит вниз с постоянной скоростью \(v\), а угол между полом и стержнем равен \(\alpha\)?
▶РешениеСкрыть
\
Поскольку длина стержня постоянна, можно рассмотреть уравнение \[x^2+y^2 = L^2.\] Дифференцируя по времени, получаем \[2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt} = 0,\qquad xu+yv = 0,\qquad \boxed{u = -v\frac yx = -v\tg\alpha}.\] Теперь найдём ускорение: \[a = \frac{du}{dt} = \frac{d(-v\tg\alpha)}{dt}.\] Поскольку \(v\) постоянна, имеем \[a = v\frac{d\tg\alpha}{dt} = v\sec^2\alpha\frac{d\alpha}{dt}.\] Угловая скорость \(\frac{d\alpha}{dt}\) попросту равна \[\frac{d\alpha}{dt} = \frac{v\cos\alpha+u\tg\alpha\sin\alpha}L = \frac v{L\cos\alpha}.\] Это означает, что \[\boxed{a = \frac{v^2}{L\cos^3\alpha}}.\] \section[5. Разное]{5. Решения разных задач}
Эта глава содержит задачи 28–34 пособия. Эти задачи слишком своеобразны или различны, чтобы поместить их в одну категорию. Поэтому все они получили собственную категорию — «разное». Задачи эти в целом весьма интересны, но будьте начеку: для некоторых из них вам, возможно, придётся достать циркуль и линейку!