Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой, причём \(B\) находится между \(A\) и \(C\). Три тела \(a\), \(b\) и \(c\) стартуют из этих точек, двигаясь с постоянными (но разными) скоростями. Известно, что (i) если бы \(c\) не было, то \(a\) и \(b\) столкнулись бы и (ii) если бы не было \(b\), то столкнулись бы \(a\) и \(c\), и это произошло бы раньше, чем в (i). Столкнулись бы \(b\) и \(c\), если бы не было \(a\)?
▶РешениеСкрыть
Из первых двух столкновений можно заключить, что все три тела лежат в одной плоскости. Для простоты пусть это будет плоскость \(x-y\).
Кроме того, можно считать, что все три тела лежат на оси \(x\), причём тело \(a\) — в начале координат \(O\). Тогда движение тел можно изобразить в трёх измерениях (со временем как третьим измерением) так:
Поскольку тело \(a\) сталкивается с телом \(b\), обе траектории \(a\) и \(b\) должны лежать в некоторой единственной плоскости \(P\) нашего трёхмерного графика.
Поскольку тело \(a\) сталкивается с телом \(c\), обе траектории \(a\) и \(c\) должны лежать в некоторой единственной плоскости \(P'\) нашего графика.
Однако и \(P\), и \(P'\) содержат траекторию \(a\) и ось \(x\), а значит, это одна и та же плоскость. Поэтому \boxed{да}, \(b\) и \(c\) столкнулись бы, если бы не было \(a\).