Колесо радиуса \(R\) находится на высоте \(R\) над землёй и вращается с угловой
скоростью \(\Omega\). В некоторой точке \(A\) от колеса отделяется капля воды и достигает
земли в точке \(B\), расположенной прямо под осью колеса (см. рисунок). Найдите время
падения капли и положение точки \(A\) (т. е. угол \(\alpha\)).
▶РешениеСкрыть
\
В свободно падающей системе отсчёта все частицы движутся с постоянными скоростями; каждая частица имела начальную скорость, равную скорости колеса в точке отрыва, т. е. касательную к колесу и равную по модулю \(\Omega R\). Значит, ансамбль частиц расширяется как окружность, радиус которой можно вычислить по теореме Пифагора: \[R'^2 = R^2+\Omega^2R^2t^2\ \Longrightarrow\ R' = R\sqrt{1+\Omega^2t^2}.\] В лабораторной системе центр окружности совершает свободное падение \(d = \frac12gt^2-R\). Достижение каплей точки \(A\) соответствует касанию расширяющейся окружностью земли. Поэтому, положив \(R' = d\), получаем \[\begin{align*} R\sqrt{1+\Omega^2t^2} &= \tfrac12gt^2-R,\\ \tfrac14g^2t^4-gRt^2+R^2 &= R^2+R^2\Omega^2t^2,\\ \tfrac14g^2t^2-gR &= R^2\Omega^2,\\ t^2 &= \frac{4\bigl(\Omega^2R^2+gR\bigr)}{g^2}, \end{align*}\] \[\boxed{t = 2\sqrt{\frac Rg\Bigl(1+\frac{R\Omega^2}g\Bigr)}}.\] По приведённому чертежу можно также сказать, что \[\alpha = \arctg\Bigl(\frac{\Omega Rt}R\Bigr)\ \Longrightarrow\ \boxed{\alpha = \arctg(\Omega t)}.\]