(i) Есть две расчёски, изображённые на рисунке ниже. Рисунок верно передаёт
пропорции расчёсок; масштаб рисунка неизвестен. Серая расчёска движется со скоростью
\(v = 1\) см/с (направление её движения показано на рисунке); чёрная расчёска покоится.
Найдите скорость и направление движения тёмных полос.
▶РешениеСкрыть
(i) Предположим, что мы наклеили на обе расчёски бумажные полоски с синусоидальными волнами так, что гребни соответствуют зубцам.
Для чёрной расчёски зубцы существуют там, где \[\sin(\vec k_1\cdot\vec r) = 1,\qquad k_1 = \frac{2\pi}{\Delta l_1}.\] Для серой расчёски зубцы существуют там, где \[\sin(\vec k_2\cdot\vec r-\omega t) = 1,\qquad k_2 = \frac{2\pi}{\Delta l_2}, \qquad \frac\omega{k_2} = v\] (\(r = 0\) там, где зубцы совпадают при \(t = 0\); \(k_1>k_2\)).
Тёмные области мы увидим там, где \[\sin(\vec k_1\cdot\vec r)\sin(\vec k_2\cdot\vec r-\omega t) = 1\] \[\Longrightarrow\ \vec k_1\cdot\vec r = 2n\pi+\frac\pi2,\qquad \vec k_2\cdot\vec r-\omega t = 2m\pi+\frac\pi2\] \[\Longrightarrow\ (\vec k_1-\vec k_2)\cdot\vec r = 2k\pi-\omega t,\] если следовать постоянной фазе (т. е. постоянному \(k\)). Для первой части \[v_{\text{полос}} = \frac{-\omega}{|\vec k_1-\vec k_2|} = \frac{-\omega/k_2}{\frac{k_1}{k_2}-1} = \frac{-v}{\frac{l_2}{l_1}-1} = \boxed{-7v = -7\text{ см/с}}.\]
Решение 2 для (i). Пусть \(\Delta l_1\) — зазор между зубцами чёрной расчёски, а \(\Delta l_2\) — зазор между зубцами серой. По расстоянию между двумя прозрачными промежутками на приведённом изображении можно заметить, что \(7\Delta l_2 = 8\Delta l_1\).
Если посмотреть на зубцы обеих расчёсок прямо перед местом их совпадения, зазор между их центрами будет \[\Delta l_2-\Delta l_1 = \tfrac87\Delta l_1-\Delta l_1 = \frac{\Delta l_1}7.\] Когда этот зазор пройден, прозрачные (а значит, и тёмные) полосы смещаются назад на целый зазор чёрной расчёски (т. е. на \(\Delta l_1\)). Поэтому \[v_{\text{полос}} = -\frac{\Delta l_1}{\frac{\Delta l_1}{7v}} = \boxed{-7v = -7\text{ см/с}}.\]
(ii) Для второй части \[|\vec k_1-\vec k_2|\approx\sqrt{(k_2\alpha)^2+(k_1-k_2)^2},\] \[v_{\text{полос}} = \frac{-\omega}{|\vec k_1-\vec k_2|} \approx\frac{-\omega/k_2}{\sqrt{\alpha^2+\bigl(\frac{k_1}{k_2}-1\bigr)^2}} = \frac{-v}{\sqrt{\alpha^2+\frac1{49}}} = \boxed{-5{,}73\text{ см/с}}.\]