Собака гонится за лисой, бегущей с постоянной скоростью \(v\) по прямой. Модуль скорости собаки постоянен и тоже равен \(v\), но вектор \(\vec v\) всегда направлен на лису. Когда собака заметила лису и начала погоню, расстояние между ними было \(L\), и в первый момент их векторы скоростей образовывали прямой угол. Каково минимальное расстояние между ними за время погони?
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим момент, когда угол линии «собака–лиса» относительно горизонта равен \(\theta\).
Разложив скорость собаки на компоненты \(x\) и \(y\), видим, что \[\frac{dr_x}{dt} = -v\cos\theta = -\frac{vr_x}r,\qquad \frac{dr_y}{dt} = v-v\sin\theta = v-\frac{vr_y}r.\] По теореме Пифагора имеем \(r_x^2+r_y^2 = r^2\). Дифференцируя по времени, получаем \[\begin{align*} 2r_x\frac{dr_x}{dt}+2r_y\frac{dr_y}{dt} &= 2r\frac{dr}{dt},\\ r_x\Bigl(-\frac{vr_x}r\Bigr)+r_y\Bigl(v-\frac{vr_y}r\Bigr) &= r\frac{dr}{dt},\\ vr_y-v\cdot\frac{r_x^2+r_y^2}r &= r\frac{dr}{dt},\\ \frac{dr}{dt} &= \frac{vr_y}r-v. \end{align*}\] Заметим, что \[\frac{dr}{dt}+\frac{dr_y}{dt} = \Bigl(\frac{vr_y}r-v\Bigr)+\Bigl(v-\frac{vr_y}r\Bigr) = 0.\] Интегрируя по времени, видим, что \(r+r_y = C\), где \(C\) — постоянная. Из начальных условий системы видно, что \(C = L\).
Поскольку \(\frac{dr}{dt}\) всегда неотрицательна, можно рассмотреть предел при \(t\to\infty\), в котором \(r = r_y\). Поэтому \[\boxed{r_{\min} = \frac L2}.\]
Решение 2. Заметим, что в любой момент \[-\frac{dr}{dt} = v(1-\cos\alpha) = \frac{dx}{dt}.\] Это потому, что относительная скорость лисы по отношению к собаке в любой момент вдоль горизонтали и вдоль кривой, по которой идёт собака, одна и та же. Значит, \[-v\,dr = v\,dx,\qquad dr = -dx,\] \[\int_{\sqrt{L^2+0^2}}^{r_{\min}}dr = -\int_{r_{\min}}^0dx,\qquad r_{\min}-L = -r_{\min},\qquad \boxed{r_{\min} = \frac L2}.\] \section[6. Задачи для повторения]{6. Решения задач для повторения}
Эта глава содержит задачи 35–66 пособия. Задачи для повторения берут понятия и идеи из более ранних задач и помещают их в новый контекст. Поэтому многие задачи этой главы покажутся знакомыми. Это, однако, не значит, что все задачи здесь лёгкие. Некоторые из самых трудных вопросов происходят именно отсюда — а эта глава занимает почти половину всех задач пособия.