Мальчик плывёт в быстрой реке шириной \(L\); скорость воды \(u = 2\) м/с, а мальчик может плыть со скоростью \(v = 1\) м/с. Находясь в точке \(A\) у одного берега, он хочет достичь такой точки \(B\) у другого берега, которая находится прямо напротив (\(\vec{AB}\perp\vec u\)). Поскольку река слишком быстрая, он не может избежать сноса вниз по течению на некоторое расстояние \(a\) от точки \(B\); каково наименьшее возможное значение \(a\), которого он может добиться при оптимально выбранном направлении плавания?
▶РешениеСкрыть
\
Поскольку \(u>v>v\sin\varphi\) при всех \(90^\circ>\varphi\ge0^\circ\), это означает, что быстрая река сносит мальчика на боковое расстояние \(a = (u-v\sin\varphi)T\) от точки \(B\) (где \(T\) — время, за которое он достигает другого берега).
Поскольку время пересечения реки попросту равно \(T = \frac L{v\cos\varphi}\), это значит, что \[a = \frac{(u-v\sin\varphi)L}{v\cos\varphi} = \frac{(2-\sin\varphi)L}{\cos\varphi},\] где последнее выражение получено подстановкой данных значений. Теперь для минимизации \(a\) имеем \[\frac{da}{d\varphi} = L\frac d{d\varphi}\Bigl(\frac{2-\sin\varphi} {\cos\varphi}\Bigr) = \frac{L(2\sin\varphi-1)}{\cos^2\varphi},\] что явно обращается в нуль при \(\sin\varphi = \frac12\), т. е. \(\varphi = 30^\circ\). Подставляя это в выражение для \(a\), имеем \[a_{\min} = \frac{L(2-\frac12)}{\sqrt3/2} = \boxed{L\sqrt3}.\]
Решение 2. Пусть скорость мальчика относительно земли равна \(\vec w = \vec u+\vec v\). Поскольку \(\vec u\) — скорость воды — фиксирована, а модуль \(\vec v\) фиксирован, мы можем менять только ориентацию.
Суперпозиция всех возможных ориентаций заполняет окружность, как показано. Мы хотим, чтобы скорость относительно земли составляла как можно больший угол. Для этого \(w\), \(u\) и \(v\) должны быть тремя сторонами прямоугольного треугольника, так что \[w^2 = u^2-v^2\ \Longrightarrow\ w = \sqrt3\text{ м/с}.\] Время пересечения даётся выражением \(t = \frac L{w\sin\theta}\), а горизонтальное расстояние, пройденное за это время, равно \[a = w\cos\theta\,t = \frac L{\tg\theta} = \boxed{L\sqrt3}.\]