Кольца \(O\) и \(O'\) свободно скользят по вертикальным неподвижным направляющим
\(AB\) и \(A'B'\) (см. рисунок); расстояние между направляющими равно \(b\). К кольцу \(O\)
привязана нерастяжимая верёвка, продетая через кольцо \(O'\). Другой конец верёвки
закреплён в точке \(A'\). В момент, когда \(\angle AOO' = \alpha\), кольцо \(O'\) движется
вниз с постоянной скоростью \(v\). Найдите скорость и ускорение кольца \(O\) в тот же
момент.
▶РешениеСкрыть
Пусть длина верёвки равна \(L\), \(AO = x\), а \(A'O' = y\), как показано на чертеже ниже.
Пусть также \(v_O\) — скорость кольца \(O\). По теореме Пифагора имеем \[(x-y)^2+b^2 = (L-y)^2.\] Взяв производную, получаем \[\begin{align*} \frac d{dt}(x-y)^2+\frac d{dt}b^2 &= \frac d{dt}(L-y)^2,\\ 2(x-y)\Bigl(\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt}\Bigr) &= -2(L-y)\cdot\frac{dy}{dt},\\ (v_O-v)\Bigl(\frac{x-y}{L-y}\Bigr) &= -v,\\ (v_O-v)\cos\alpha &= -v, \end{align*}\] \[\boxed{v_O = v\Bigl(1-\frac1{\cos\alpha}\Bigr)}.\] Заметим, что эта скорость направлена вверх вдоль направляющей, отсюда её отрицательное значение.
Далее заметим, что \(\ctg\alpha = \frac{x-y}b\), откуда \[-\frac{d\alpha}{dt}\csc^2\alpha\cdot b = \frac d{dt}(x-y),\qquad \frac{d\alpha}{dt} = \frac vb\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}.\] Отсюда получаем ускорение точки \(O\): \[a_O = \frac{dv_O}{dt} = v\sec\alpha\tg\alpha\frac{d\alpha}{dt} = \boxed{\frac{v^2}b\tg^3\alpha}.\]