Маленький шарик движется со скоростью \(v_0\) по гладкой горизонтальной
поверхности и падает в цилиндрический вертикальный колодец в точке \(A\), после чего
начинает упруго отскакивать от стенки и гладкого горизонтального дна. Колодец имеет
глубину \(H\) и радиус \(R\); угол между \(\vec v_0\) и диаметром колодца, проведённым
через точку \(A\), равен \(\alpha\). Какое условие между \(R\), \(H\), \(v_0\) и \(\alpha\)
должно выполняться, чтобы шарик снова вышел из колодца? Вращением шарика можно
пренебречь.
▶РешениеСкрыть
Шарик может выйти из колодца, если в момент, когда он находится на максимальной высоте, он сталкивается со стенкой.
Время между любыми двумя соударениями со стенкой равно \(\frac{2R\cos\alpha}{v_0}\). Полное время полёта по одной параболе равно \(2\sqrt{\frac{2H}g}\). Значит, требуемое условие таково: \[2p\sqrt{\frac{2H}g} = \frac{2qR\cos\alpha}{v_0},\qquad\text{или}\] \[\boxed{pv_0\sqrt{\frac{2H}g} = qR\cos\alpha},\qquad p,q\in\mathbb N.\]