Однородный шнур изготовлен из взрывчатого материала, горение распространяется вдоль шнура со скоростью \(v\). Скорость ударной волны в воздухе равна \(c\), причём \(c<v\). Вдоль какой кривой следует выложить шнур, чтобы ударная волна приходила в заданную точку одновременно из всех точек шнура? (Нахождение количественной формулы для формы требует решения очень простого дифференциального уравнения.)
▶РешениеСкрыть
Интуитивно шнур будет чем-то вроде спирали.
Поскольку шнур может уходить в бесконечность, рассмотрим вместо этого последнюю точку. Поместим точку, где сходятся все ударные волны, в начало координат и воспользуемся полярными координатами, поскольку нам предстоит работать с расстояниями.
Шнур лежит вдоль кривой \(r(\theta)\), где \(r(0)\) — последняя загорающаяся точка. Ударной волне от последней точки поджига нужно время \(r(0)/c\), чтобы дойти до начала координат. Если отойти назад по шнуру на угол \(d\theta\), то соответствующей ударной волне нужно время \[\frac{r(d\theta)}c-\frac{ds}v,\] чтобы дойти до начала координат, где \(ds\) — бесконечно малая длина дуги. Заметим, что \(ds = \sqrt{r^2d\theta^2+dr^2}\).
Отсюда можно составить дифференциальное уравнение. Для каждого \(r(\theta)\) мы хотим \[\frac{r(\theta+d\theta)-r(\theta)}c = \frac{ds}v.\] Поделив обе части на \(d\theta\), получаем \(r'/c = \sqrt{r^2+r'^2}/v\). Возведя обе части в квадрат, получаем \[\frac{r'^2}{c^2} = \frac{r^2}{v^2}+\frac{r'^2}{v^2}.\] Собирая подобные члены и упрощая, получаем \[\frac{dr}{d\theta} = r\sqrt{\frac{c^2}{v^2-c^2}}.\] Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое даёт решение \[\boxed{r = C\exp\Bigl(\sqrt{\tfrac{c^2}{v^2-c^2}}\;\theta\Bigr)}.\]