Шарнирная конструкция состоит из ромбов со сторонами \(l\), \(2l\) и \(3l\)
(см. рисунок). Точка \(A_3\) движется с постоянной горизонтальной скоростью \(v_0\).
Найдите скорости точек \(A_1\), \(A_2\) и \(B_2\) в момент, когда все углы конструкции
равны \(90^\circ\). Найдите также ускорение точки \(B_2\).
▶РешениеСкрыть
\
Поскольку каждый из ромбов деформируется с одинаковой скоростью, можно применить гомотетии \(H(A_0,d/6)\) и \(H(A_0,d/2)\) вдоль линии \(A_0A_3\) и увидеть, что \[\boxed{v_{A_1} = \frac{v_0}6},\qquad \boxed{v_{A_2} = \frac{v_0}2}.\] Применяя идею 35 к линиям \(A_1B_2\) и \(A_2B_2\), видим, что у \(v_{B_2}\) есть составляющая \(\frac{v_0\cos45^\circ}2\) вдоль \(\overrightarrow{B_2A_2}\) и составляющая \(\frac{v_0\cos45^\circ}6\) вдоль \(\overrightarrow{A_1B_2}\).
По теореме Пифагора получаем \[v_{B_2} = \sqrt{\Bigl(\frac{v_0\sqrt2}4\Bigr)^2 +\Bigl(\frac{v_0\sqrt2}{12}\Bigr)^2} = \boxed{\frac{v_0\sqrt5}6}.\] Поскольку горизонтальные скорости всех точек постоянны, ускорение \(B_2\) должно быть направлено вниз.
Перейдя в систему отсчёта \(A_2\), можно применить идею 35 и увидеть, что \(v_{B_2} = \frac{v_0\cos45^\circ}3\) и оно направлено вдоль \(\overrightarrow{B_2A_1}\). Значит, центростремительное ускорение \(B_2\) равно \[a_C = \frac{v_{B_2}^2}{2l} = \frac{v_0^2}{36l},\] и оно направлено вдоль \(\overrightarrow{B_2A_2}\). Тангенциальная составляющая должна уравновесить центростремительную и дать в итоге ускорение, направленное вниз, поэтому \(a_T = a_C = \frac{v_0^2}{36l}\) и \[\boxed{a_{B_2} = \sqrt{a_T^2+a_C^2} = \frac{v_0^2\sqrt2}{36l}}.\]