Два катера одновременно отходят из двух гаваней (\(A\) и \(B\)), находящихся на расстоянии \(l\) друг от друга; скорости катеров равны \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Углы между их скоростями и линией, соединяющей \(A\) и \(B\), равны \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Каково минимальное расстояние между катерами?
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим следующую постановку.
Теперь перейдём в систему отсчёта катера, вышедшего из гавани \(A\).
Поскольку \(\vec v_{\text{отн}} = \vec v_2-\vec v_1\), разложив их на компоненты, находим \[\tg\varphi = \frac{|v_1\sin\alpha-v_2\sin\beta|} {|v_1\cos\alpha+v_2\cos\beta|}.\] Отсюда можно найти, что \[\sin\varphi = \frac{|v_1\sin\alpha-v_2\sin\beta|} {\sqrt{v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos(\alpha+\beta)}}.\] Тогда получаем \[\boxed{d = l\sin\varphi = \frac{l\cdot|v_1\sin\alpha-v_2\sin\beta|} {\sqrt{v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos(\alpha+\beta)}}}.\]