Две доски поставлены под прямым углом друг к другу. Линия их соприкосновения
горизонтальна, и одна из них (\(A\)) составляет угол \(\alpha\) с горизонтом. Упругий
мяч отпускают в точке на расстоянии \(a\) от плоскости \(A\) и \(b\) от \(B\). Сколько раз в
среднем мяч ударяется о стенку \(B\) на каждый удар о стенку \(A\)? Соударения абсолютно
упругие.
▶РешениеСкрыть
Наклоним плоскость на угол \(\alpha\). Это даёт нам следующий чертёж.
Мяч находится на расстоянии \(b\) от стенки \(B\) и на расстоянии \(a\) от стенки \(A\). Пусть \(t_a\) и \(t_b\) — периоды прыжков. Тогда \[a = \frac12g\cos\alpha\frac{t_a^2}4\ \Longrightarrow\ t_a = 2\sqrt{\frac{2a}{g\cos\alpha}}\] и \[b = \frac12g\sin\alpha\frac{t_b^2}4\ \Longrightarrow\ t_b = 2\sqrt{\frac{2b}{g\sin\alpha}}.\] В среднем мяч ударяется о стенку \(A\) на каждый удар о стенку \(B\) в отношении \[\boxed{\frac{t_a}{t_b} = \sqrt{\frac{a\tg\alpha}b}}.\]