Один конец нити пренебрежимо малой массы прикреплён к боковой стороне цилиндра,
недалеко от земли. Сам цилиндр закреплён на гладкой скользкой горизонтальной
поверхности, его ось вертикальна. Нить намотана \(k\) раз вокруг цилиндра. Свободный
конец нити привязан к бруску, которому сообщают горизонтальную скорость \(v\),
направленную вдоль радиус-вектора, проведённого от оси цилиндра. Через какое время
нить снова полностью намотается на цилиндр, на этот раз в другую сторону? [Эта задача
приводит к очень простому дифференциальному уравнению; если вы не знаете, как его
решать, может помочь равенство \(l\frac{dl}{dt} = \frac12\frac{d(l^2)}{dt}\).]
▶РешениеСкрыть
Прежде всего заметим, что \(L = 2\pi rk\).
По идее 21 (натяжение перпендикулярно направлению движения) скорость \(v\) бруска остаётся постоянной на протяжении всего движения.
Пусть \(l\) — длина той части нити, которая не касается цилиндра. Угловая скорость вокруг точки касания с цилиндром равна \(\omega = \frac vl\). Заметим, что \(r\frac{d\theta}{dt} = \frac{dl}{dt}\). Значит, \[r\omega = \frac{dl}{dt}\ \Longrightarrow\ \frac{rv}l = \frac{dl}{dt} \ \Longrightarrow\ rv = l\frac{dl}{dt},\] \[rv = \frac12\frac{d(l^2)}{dt}\ \Longrightarrow\ l^2 = 2rvt,\] поскольку \(l_0 = 0\). Отсюда \(t = \frac{l^2}{2rv} = \frac{2\pi^2rk^2}v\).
Заметим, что нить также описывает дополнительную полуокружность, не меняя длины, прежде чем начать наматываться обратно.
Поэтому наше окончательное время равно \(t = 2\cdot\frac{2\pi^2rk^2}v+\frac{\pi(2\pi rk)}v\), т. е. \[\boxed{t = \frac{2\pi^2kr(2k+1)}v}.\]