Тяжёлый ящик тянут двумя тракторами. У одного из них скорость \(v_1\), у другого
\(v_2\), угол между скоростями равен \(\alpha\). Какова скорость ящика, если считать, что
верёвки параллельны векторам скоростей?
▶РешениеСкрыть
Если скорость ящика изображается вектором \(v_3\), то проекция \(v_3\) на \(v_1\) должна равняться \(v_1\), а проекция \(v_3\) на \(v_2\) должна равняться \(v_2\).
По существу это означает, что \(v_3\) должна складываться из \(v_1\) и вектора, перпендикулярного \(v_1\), и то же самое для \(v_2\). Это даёт нам следующий чертёж.
Мы хотим найти длину \(AC\). Поскольку этот четырёхугольник образован двумя прямоугольными треугольниками, он вписанный.
Поскольку \(\angle BDA\) и \(\angle BCA\) — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, они равны. По теореме синусов получаем \[\frac{BD}{\sin\alpha} = \frac{AB}{\sin\angle BDA},\qquad \frac{AB}{\sin\angle BCA} = AC.\] Поскольку \(\angle BDA = \angle BCA\), имеем \(\frac{BD}{\sin\alpha} = AC\). По теореме косинусов \(BD = \sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\alpha}\), так что \[\boxed{AC = \frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\alpha}}{\sin\alpha}}.\]
Решение 2. Похоже на предыдущее, но обозначим \(\angle CAD = \theta\), так что \(v_2 = v\cos\theta\) и \(v_1 = v\cos(\alpha-\theta)\). Перепишем \(v_1\) по формуле косинуса разности: \[v_1 = v(\cos\alpha\cos\theta-\sin\theta\sin\alpha) = v_2\cos\alpha-v\sin\theta\sin\alpha.\] Можно найти \(\sin\theta\): \[\sin\theta = \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{v^2-v_2^2}}v.\] Подставляя это, получаем \[\begin{align*} v_1 &= v_2\cos\alpha-v\Bigl(\frac{\sqrt{v^2-v_2^2}}v\Bigr),\\ (v_2\cos\alpha-v_1)^2 &= (v^2-v_2^2)\sin^2\alpha,\\ v_2^2\cos^2\alpha+v_1^2-2v_1v_2\cos\alpha &= v^2\sin^2\alpha-v_2^2\sin^2\alpha. \end{align*}\] Перегруппировка и решение относительно \(v\) дают \[\boxed{v = \frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\alpha}}{\sin\alpha}}.\]