Мяч, брошенный с начальной скоростью \(v_0\), движется в однородном поле тяжести
напряжённости \(g\); сопротивлением воздуха пренебречь. Точку бросания можно свободно
выбирать на уровне земли \(z = 0\), а угол бросания можно подбирать как нужно; цель —
попасть в самую верхнюю точку сферического здания радиуса \(R\) (см. рис.) с как можно
меньшей начальной скоростью \(v_0\) (отскок от крыши до попадания в цель не
допускается). Изобразите качественно форму оптимальной траектории мяча. Какова
минимальная начальная скорость \(v_{\min}\), необходимая, чтобы попасть в самую верхнюю
точку сферического здания радиуса \(R\)?
▶РешениеСкрыть
\
Уравнение траектории мяча (см. задачу 19) таково: \[z = \frac{v_0^2}{2g}-\frac g{2v_0^2}x^2.\] По уравнению окружности \[x^2+(z-R)^2 = R^2,\qquad x^2+z^2-2zR = 0,\] \[x^2+\Bigl(\frac{v_0^2}{2g}-\frac g{2v_0^2}x^2\Bigr)^2 -2R\Bigl(\frac{v_0^2}{2g}-\frac g{2v_0^2}x^2\Bigr) = 0,\] \[\Bigl(\frac{g^2}{4v_0^4}\Bigr)x^4+\Bigl(\frac{v_0^2-2gR}{2v_0^2}\Bigr)x^2 +\Bigl(\frac{v_0^2+4gR}{4g^2}\Bigr)v_0^2 = 0.\] Для оптимальной траектории приравняем дискриминант этого уравнения к нулю: \[\Bigl(\frac{v_0^2-2gR}{2v_0^2}\Bigr)^2 -4\Bigl(\frac{v_0^2+4gR}{4g^2}\Bigr)v_0^2\cdot\frac{g^2}{4v_0^4} = 0.\] Решая это относительно \(v_0\), получаем \(v_0 = \sqrt{\frac{gR}2}\). По закону сохранения энергии имеем \[\frac12mv^2 = \frac12mv_0^2+2mgR,\qquad \boxed{v = \sqrt{v_0^2+4gR} = \sqrt{\frac{9gR}2}}\] 1.
Сноски
- Эта задача встречалась на IPhO-2012. ↩