Есть столица \(O\) и три города \(A\), \(B\) и \(C\), соединённые со столицей дорогами 1, 2 и 3, как показано на левом рисунке. Каждая дорога имеет длину \(2a\). Два автомобиля едут из одного города в другой: они выезжают из своих начальных точек одновременно и едут с постоянной скоростью \(v\). Правый рисунок изображает скорость изменения расстояния между автомобилями (отрицательные значения означают, что расстояние уменьшается), измеренную GPS-устройствами автомобилей. Повороты проходятся автомобилями так быстро, что GPS-устройства не фиксируют поведение в эти промежутки.
▶РешениеСкрыть
(i) Заметим, что полное время равно \(\frac{2a}v\), так что каждый автомобиль может проехать только 2 отрезка.
Поскольку \(v_{\text{расст}}\) никогда не положительна, автомобили всё время сближаются (кроме краткого мгновения при \(t = \frac av\)). Отсюда заключаем, что оба автомобиля должны оказаться в городе \(O\).
Если бы автомобили выехали из городов \(A\) и \(B\), их начальная \(v_{\text{расст}}\) была бы равна 0. Если бы они выехали из городов \(B\) и \(C\), начальная \(v_{\text{расст}}\) была бы \(v_0\sqrt2\). Остаётся единственная возможность: \(\boxed{\text{автомобили выехали из }A\text{ и }C\text{ и оба приехали в }O}\).
(ii) Поскольку площадь под графиком скорости — это просто расстояние, площадь под этим графиком равна разности расстояний между автомобилями в моменты \(t = 0\) и \(t = \frac av\). Значит, наш ответ \[\boxed{2a-\sqrt2a = (2-\sqrt2)a}.\]
(iii) \(A-B\): на первом отрезке у автомобилей одинаковая скорость, поэтому \(v_{\text{расст}} = 0\). На втором отрезке они едут навстречу друг другу, поэтому \(v_{\text{расст}} = -2v\).
\(B-C\): на протяжении всего движения векторы скоростей двух автомобилей перпендикулярны друг другу, и оба автомобиля сближаются, поэтому \(v_{\text{расст}} = -\sqrt2v\).
(iv) \(B-C\): на повороте автомобили сначала оказываются лицом друг к другу, а затем снова поворачивают до перпендикулярного положения, так что \(v_{\text{расст}}\) идёт от \(-\sqrt2v\) до \(-2v\) и обратно к \(-\sqrt2v\).
