Рассмотрим два кольца радиуса \(r\), изображённых на рисунке: синее кольцо
покоится, а жёлтое вращается вокруг точки \(O\) (одной из точек пересечения двух колец)
с постоянной угловой скоростью \(\omega\). Найдите минимальную и максимальную скорости
\(v_{\min}\) и \(v_{\max}\) другой точки пересечения двух колец.
▶РешениеСкрыть
Если перейти в систему отсчёта, вращающуюся против часовой стрелки с угловой скоростью \(\omega/2\) вокруг точки \(A\), можно заметить, что точка пересечения \(I\) движется в этой системе по прямой.
Имеем \(AI = 2R\sin\theta\), откуда \[\frac{d(AI)}{dt} = 2R\cos\theta\cdot\frac{d\theta}{dt} = \omega R\cos\theta.\] В невращающейся системе отсчёта имеем \[\vec v_{\text{земли}} = \vec v_{\text{вращ}}+\frac{\vec\omega}2\times\vec r = \omega R\cos\theta\,\hat\jmath-\frac\omega2\cdot2R\sin\theta\,\hat\imath = \boxed{\omega R}.\]
Решение 2. Пусть первое кольцо имеет центр в \((0,0)\), так что его уравнение \(x^2+y^2 = r^2\), а положение точки \(O\) равно \((x_o,y_o)\).
Мы знаем, что второе кольцо имеет центр в \((x_o+r\cos\omega t,\ y_o+r\sin\omega t)\), так что его уравнение \[(x-(x_o+r\cos\omega t))^2+(y-(y_o+r\sin\omega t))^2 = r^2.\] Два решения этой системы уравнений — \((x_o,y_o)\) и \((r\cos\omega t,\ r\sin\omega t)\), поскольку \(x_o^2+y_o^2 = r^2\). Но тогда это и есть координаты второй точки пересечения, а значит, точка движется по окружности радиуса \(r\) с угловой скоростью \(\omega\), и потому её скорость постоянна и равна \(\boxed{\omega r}\).
Решение 3. Точка пересечения движется по кривой \(\rho = 2r\cos\theta\) с угловой скоростью \(\omega/2\) (здесь мы используем \(\rho\), чтобы отличать её от радиуса окружности). Скорость точки равна \[\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt} = \frac\omega2\sqrt{\rho^2+\Bigl(\frac{d\rho}{d\theta}\Bigr)^2} = \frac\omega2(2r)\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = \boxed{\omega r}.\]